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[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

Mensagempor Hoteri » Seg Dez 05, 2016 23:56

Boa noite, amigos. Há muito tempo tento resolver este problema:

Seja $z=f(x,y)$. Considere $g(u,v)=uf(u^2, 2uv)$. Calcule $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}(1,1)$ se $f(1,2)=4$, $\nabla f(1,2)=(3,-1)$,  $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,2)= \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(1,2)=1$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x \,\partial y}(1,2)=-1$.

Primeiramente, calculei \dfrac{\partial g}{\partial v}:

$\dfrac{\partial g}{\partial v}=u\cdot\dfrac{d}{dv}f(u^2,2uv)+0 \cdot f(u^2,2uv)=u\cdot\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\dfrac{dx}{dv}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\dfrac{dy}{dv}\right)=2u^2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

E, então, $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}$:

$\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial g}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial u}\left(2u^2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)= 4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\dfrac{dx}{du}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)\dfrac{dy}{du}\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(2u\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+2v\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right)$

Não sei se estou fazendo isto corretamente. Sou novo nesta área do Cálculo e, no meio do caminho da resolução, sinto que me perdi e não sei como prosseguir a partir daqui ou relacionar com os dados disponibilizados no enunciado. Agradeço a ajuda desde já.
Hoteri
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Re: [Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadei

Mensagempor adauto martins » Qui Dez 08, 2016 09:09

primeiramente vamos encontrar uma expressao para z=f(x,y) usando as condiçoes a),b)...
a diferencial total de z=f(x,y) é dado por:
\Delta f(x,y)=(\partial f/\partial x).dx+(\partial f/\partial y).dy...com a condiçao b)teremos:
f(x,y)=3x-y+c,onde c é devido a integraçao indefinida...usando a condiçao a)f(1,2)=3.1-2+c=4\Rightarrow c=3...,logo:
z=f(x,y)=3x-y+3\Rightarrow g(v,u)=u.f({u}^{2},2uv)=u.(3{u}^{2}-2uv+3)\Rightarrow g(u,v)={u}^{3}-2{u}^{2}.v+3u...,usandos as outras condiçoes procede-se o calculo da derivada mista,calcule-o...
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Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Dom Abr 03, 2011 20:55

alguém poderia me ajudar nesse exercício aqui Uma loja de CDs adquire cada unidade por R$20,00 e a revende por R$30,00. Nestas condições,
a quantidade mensal que consegue vender é 500 unidades. O proprietário estima que, reduzindo o preço para R$28,00, conseguirá vender 600 unidades por mês.
a) Obtenha a função demanda, supondo ser linear

Eu faço ensino médio mas compro apostilas de concursos para me preparar para mercado de trabalho e estudar sozinho não é fácil. Se alguém puder me ajudar aqui fico grato


Assunto: função demanda
Autor: ssousa3 - Seg Abr 04, 2011 14:30

Gente alguém por favor me ensine a calcular a fórmula da função demanda *-)