• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

Mensagempor Hoteri » Seg Dez 05, 2016 23:56

Boa noite, amigos. Há muito tempo tento resolver este problema:

Seja $z=f(x,y)$. Considere $g(u,v)=uf(u^2, 2uv)$. Calcule $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}(1,1)$ se $f(1,2)=4$, $\nabla f(1,2)=(3,-1)$,  $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,2)= \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(1,2)=1$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x \,\partial y}(1,2)=-1$.

Primeiramente, calculei \dfrac{\partial g}{\partial v}:

$\dfrac{\partial g}{\partial v}=u\cdot\dfrac{d}{dv}f(u^2,2uv)+0 \cdot f(u^2,2uv)=u\cdot\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\dfrac{dx}{dv}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\dfrac{dy}{dv}\right)=2u^2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

E, então, $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}$:

$\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial g}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial u}\left(2u^2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)= 4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\dfrac{dx}{du}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)\dfrac{dy}{du}\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(2u\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+2v\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right)$

Não sei se estou fazendo isto corretamente. Sou novo nesta área do Cálculo e, no meio do caminho da resolução, sinto que me perdi e não sei como prosseguir a partir daqui ou relacionar com os dados disponibilizados no enunciado. Agradeço a ajuda desde já.
Hoteri
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 1
Registrado em: Seg Dez 05, 2016 23:39
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: cursando

Re: [Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadei

Mensagempor adauto martins » Qui Dez 08, 2016 09:09

primeiramente vamos encontrar uma expressao para z=f(x,y) usando as condiçoes a),b)...
a diferencial total de z=f(x,y) é dado por:
\Delta f(x,y)=(\partial f/\partial x).dx+(\partial f/\partial y).dy...com a condiçao b)teremos:
f(x,y)=3x-y+c,onde c é devido a integraçao indefinida...usando a condiçao a)f(1,2)=3.1-2+c=4\Rightarrow c=3...,logo:
z=f(x,y)=3x-y+3\Rightarrow g(v,u)=u.f({u}^{2},2uv)=u.(3{u}^{2}-2uv+3)\Rightarrow g(u,v)={u}^{3}-2{u}^{2}.v+3u...,usandos as outras condiçoes procede-se o calculo da derivada mista,calcule-o...
adauto martins
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 670
Registrado em: Sex Set 05, 2014 19:37
Formação Escolar: EJA
Área/Curso: matematica
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 4 visitantes

 



Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.