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[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

[Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadeia

Mensagempor Hoteri » Seg Dez 05, 2016 23:56

Boa noite, amigos. Há muito tempo tento resolver este problema:

Seja $z=f(x,y)$. Considere $g(u,v)=uf(u^2, 2uv)$. Calcule $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}(1,1)$ se $f(1,2)=4$, $\nabla f(1,2)=(3,-1)$,  $\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}(1,2)= \dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(1,2)=1$ e $\dfrac{\partial^2f}{\partial x \,\partial y}(1,2)=-1$.

Primeiramente, calculei \dfrac{\partial g}{\partial v}:

$\dfrac{\partial g}{\partial v}=u\cdot\dfrac{d}{dv}f(u^2,2uv)+0 \cdot f(u^2,2uv)=u\cdot\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)\dfrac{dx}{dv}+\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\dfrac{dy}{dv}\right)=2u^2\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)$

E, então, $\dfrac{\partial^2g}{\partial u \, \partial v}$:

$\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial g}{\partial v}\right)=\dfrac{\partial}{\partial u}\left(2u^2\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\dfrac{\partial}{\partial u}\left(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right)= 4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\dfrac{dx}{du}+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)\dfrac{dy}{du}\right)=4u\cdot\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)+2u^2\cdot\left(2u\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}+2v\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\right)$

Não sei se estou fazendo isto corretamente. Sou novo nesta área do Cálculo e, no meio do caminho da resolução, sinto que me perdi e não sei como prosseguir a partir daqui ou relacionar com os dados disponibilizados no enunciado. Agradeço a ajuda desde já.
Hoteri
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Re: [Cálculo de várias variáveis] Problema de regra da cadei

Mensagempor adauto martins » Qui Dez 08, 2016 09:09

primeiramente vamos encontrar uma expressao para z=f(x,y) usando as condiçoes a),b)...
a diferencial total de z=f(x,y) é dado por:
\Delta f(x,y)=(\partial f/\partial x).dx+(\partial f/\partial y).dy...com a condiçao b)teremos:
f(x,y)=3x-y+c,onde c é devido a integraçao indefinida...usando a condiçao a)f(1,2)=3.1-2+c=4\Rightarrow c=3...,logo:
z=f(x,y)=3x-y+3\Rightarrow g(v,u)=u.f({u}^{2},2uv)=u.(3{u}^{2}-2uv+3)\Rightarrow g(u,v)={u}^{3}-2{u}^{2}.v+3u...,usandos as outras condiçoes procede-se o calculo da derivada mista,calcule-o...
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}