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Limites pela definição formal

Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Ter Nov 01, 2016 21:20

Boa noite Pessoal! Tudo bem com vocês?

Eu tenho um exercício que fiquei em dúvida, primeiramente, e aguardarei uma ajuda para a resolução. É o seguinte:

Prove que f(x) = x³ é contínua em p = 2

f(2) = 2³ = 8

Bom, por definição, para todo E > 0 , existe d > 0 tal que |x-2| < d => |f(x)-f(2)| < E .

Desenvolvendo |f(x)-f(2)| < E => |x^3-8| < E => |x^3-2^3| < E => |(x-2)*(x^2+2x+4)| < E => |x-2|*|x^2+2x+4| < E

Daí em diante não sei o que exatamente fazer. Por um livro, descobri que tenho que limitar |x^2+2x+4| porém não sei como fazer isto.

Obrigado a Todos! Bons Estudos! :)

Obs: E: epsilon e d: delta
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor adauto martins » Qui Nov 03, 2016 12:04

a questao é:
\lim_{x\rightarrow 2}{x}^{3}=8...no formalismo:
dado \epsilon \succ 0,\exists \delta\succ 0,tal q. \left|{x}^{3}-8 \right|\prec \epsilon...
temos q.x=2 é raiz do polinomio {x}^{3}-8,logo ({x}^{3}-8)/(x-2)={x}^{2}+2x+4\Rightarrow {x}^{3}-8=(x-2).({x}^{2}+2x+4)...{x}^{2}+2x+4,nao tem raizes reais,pois \Delta=-12\prec 0,entao nao temos como reduzir o seu grau p/valores reais...logo:
\left|{x}^{3}-8 \right|=\left|(x-2).({x}^{2}+2x+4) \right|\prec \delta.\left|{x}^{2}+2x+4 \right|...
temos por hipotese q.:\left|x \right|-2\prec \left|x-2 \right|\prec \delta,desiqualdade triangular\Rightarrow \left|x \right|-2\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta +2...portanto:
\left|{x}^{2}+2x+4\right|\preceq {\left|x \right|}^{2}+2.\left|x \right|+4,aqui tbem a des.triangular...
portanto:
\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\left|x \right|}^{2}+2\left|x \right|+4)\prec \delta.({(\delta+2)}^{2}+2.(\delta+2)+4)\prec \epsilon...\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\delta}^{2}+4\delta+12)\prec\epsilon...pela def. p/um \epsilon \succ 0 dado existe pelo um \delta \succ 0,o qual procuramos o menor,ou seja \delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2},...]...geralmente,e o mais correto é tomarmos 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1...logo se tomarmos um num.1\prec N,podemos ter:
\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.N=\epsilon\Rightarrow \delta=\epsilon/N......o correto mesmo era resolver a inequaçao {\delta}^{3}+4{\delta}^{2}+12\delta-\epsilon \prec 0 e encontrar o menor \delta=f(\epsilon),mas o exposto acima esta tbem correto...
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Qui Nov 03, 2016 17:22

Muito obrigado! Mas o que significa esse min {d1,d2,...} ?

Obrigado! :)
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 04, 2016 11:11

em cada \epsilon \succ 0 dado,procuramos nos infinitos \delta's\succ 0 o menor \delta possivel...ai escreve-se dessa forma \delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2}...],min[...] toma a conotaçao de menor dos deltas possiveis...
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Sex Nov 04, 2016 12:39

Entendi! Muito Obrigado amigo! :)
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.