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Limites pela definição formal

Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Ter Nov 01, 2016 21:20

Boa noite Pessoal! Tudo bem com vocês?

Eu tenho um exercício que fiquei em dúvida, primeiramente, e aguardarei uma ajuda para a resolução. É o seguinte:

Prove que f(x) = x³ é contínua em p = 2

f(2) = 2³ = 8

Bom, por definição, para todo E > 0 , existe d > 0 tal que |x-2| < d => |f(x)-f(2)| < E .

Desenvolvendo |f(x)-f(2)| < E => |x^3-8| < E => |x^3-2^3| < E => |(x-2)*(x^2+2x+4)| < E => |x-2|*|x^2+2x+4| < E

Daí em diante não sei o que exatamente fazer. Por um livro, descobri que tenho que limitar |x^2+2x+4| porém não sei como fazer isto.

Obrigado a Todos! Bons Estudos! :)

Obs: E: epsilon e d: delta
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor adauto martins » Qui Nov 03, 2016 12:04

a questao é:
\lim_{x\rightarrow 2}{x}^{3}=8...no formalismo:
dado \epsilon \succ 0,\exists \delta\succ 0,tal q. \left|{x}^{3}-8 \right|\prec \epsilon...
temos q.x=2 é raiz do polinomio {x}^{3}-8,logo ({x}^{3}-8)/(x-2)={x}^{2}+2x+4\Rightarrow {x}^{3}-8=(x-2).({x}^{2}+2x+4)...{x}^{2}+2x+4,nao tem raizes reais,pois \Delta=-12\prec 0,entao nao temos como reduzir o seu grau p/valores reais...logo:
\left|{x}^{3}-8 \right|=\left|(x-2).({x}^{2}+2x+4) \right|\prec \delta.\left|{x}^{2}+2x+4 \right|...
temos por hipotese q.:\left|x \right|-2\prec \left|x-2 \right|\prec \delta,desiqualdade triangular\Rightarrow \left|x \right|-2\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta +2...portanto:
\left|{x}^{2}+2x+4\right|\preceq {\left|x \right|}^{2}+2.\left|x \right|+4,aqui tbem a des.triangular...
portanto:
\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\left|x \right|}^{2}+2\left|x \right|+4)\prec \delta.({(\delta+2)}^{2}+2.(\delta+2)+4)\prec \epsilon...\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.({\delta}^{2}+4\delta+12)\prec\epsilon...pela def. p/um \epsilon \succ 0 dado existe pelo um \delta \succ 0,o qual procuramos o menor,ou seja \delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2},...]...geralmente,e o mais correto é tomarmos 0\prec (\epsilon,\delta)\prec 1...logo se tomarmos um num.1\prec N,podemos ter:
\left|{x}^{3}-8 \right|\prec \delta.N=\epsilon\Rightarrow \delta=\epsilon/N......o correto mesmo era resolver a inequaçao {\delta}^{3}+4{\delta}^{2}+12\delta-\epsilon \prec 0 e encontrar o menor \delta=f(\epsilon),mas o exposto acima esta tbem correto...
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Qui Nov 03, 2016 17:22

Muito obrigado! Mas o que significa esse min {d1,d2,...} ?

Obrigado! :)
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor adauto martins » Sex Nov 04, 2016 11:11

em cada \epsilon \succ 0 dado,procuramos nos infinitos \delta's\succ 0 o menor \delta possivel...ai escreve-se dessa forma \delta=min[{\delta}_{1},{\delta}_{2}...],min[...] toma a conotaçao de menor dos deltas possiveis...
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor ramoncampos » Sex Nov 04, 2016 12:39

Entendi! Muito Obrigado amigo! :)
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: