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Limites pela definição

Limites pela definição

Mensagempor Fred Pellegrini » Sex Out 28, 2016 18:21

Como provar os seguintes limites pela definição?

a) Lim (x² - 2x + 1) = 1
x->2


b) lim (x² + 4x + 4) = 1
x->-1

c) lim (3x² - 7x +2) = -2
x->1
Fred Pellegrini
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Re: Limites pela definição

Mensagempor adauto martins » Seg Out 31, 2016 10:14

essa questao eu ja resolvi ela uma pa de vezes,mas vamos a mais uma:
definiçao formal de limite:
\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L
dado um \varepsilon \succ 0,existe pelo menos um \delta \succ 0(existem ifinitos deltas,por que?),tal que satisfaça a:
\left|f(x)-L \right|\prec \varepsilon...entao vamos a questao a),as outras ficam como exercicios...
\lim_{x\rightarrow 2}({x}^{2}-2x-1)=1...:
entao dado um \varepsilon \succ 0,existe pelo um delta \succ 0,\delta \succ 0...esse \delta tera q. ser em funçao do \varepsilon dado,ou seja:\delta=f(\varepsilon) e geralmente,escolhe-se o menor \delta,ou seja \delta =min[{\delta}_{1},{\delta}_{2},...]...agora vamos ao calculo...temos q.
\left|({x}^{2}-2x+1)-1 \right|\prec \varepsilon\Rightarrow e q.\left|x-2 \right|\prec \delta
\left|{x}^{2}-2x \right|=\left|x \right|.\left|x-2 \right|\prec \left|x \right|.\delta\prec \varepsilon...,como
\left|x \right|-2 \left|x-2 \right|\prec \delta\Rightarrow \left|x \right|\prec \delta+2,logo temos q.
\left|x \right|.\delta \prec (\delta+2).\delta\prec \varepsilon...
{\delta}^{2}+2\delta-\varepsilon \prec 0...resolvendo essa inequaçao,encontraremos dois deltas...
{\delta}_{1}=\sqrt[]{1+\varepsilon}-1,{\delta}_{2}=\sqrt[]{1+\varepsilon}+1......vamos tomar {\delta}_{1}......logo,teremos:
\left|({x}^{2}-2x+1)-1 \right|=\left|{x}^{2}-2x \right|\preceq\left|x \right|.\left|x-2 \right|\prec (\delta+2).\delta={\delta}^{2}+2.\delta={(\sqrt[]{\varepsilon+1}-1})^{2}+2.(\sqrt[]{\varepsilon+1})=...\prec \varepsilon...
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.