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[Aplicação de derivadas] Taxa de variação

[Aplicação de derivadas] Taxa de variação

Mensagempor cesarguedes » Ter Out 25, 2016 20:58

Boa noite, não estou conseguindo resolver o seguinte exercício:

Um cabo de cobre tem diâmetro de 1cm a 0ºC. Suponha que seu comprimento é de 1m e não se altera com a variação da temperatura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0,02cm/ºC, calcule a taxa de variação do volume desse cabo quando a temperatura está a 20ºC.
resposta= 1,4\pi

Tenho os dados:
d= 1cm
h= 100cm (constante)
dd/dt= 0,02cm/ºC
E quero descobrir dV/dt quando a temperatura for 20ºC
Imaginei que o cabo de cobre seja uma forma cilíndrica, logo a fórmula é \pir².h
Derivei (tomando raio como d/2) e surgiu dV/dt= (\pi.1.100)/2
Porém, prosseguindo, não encontro a resposta certa.
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Re: [Aplicação de derivadas] Taxa de variação

Mensagempor adauto martins » Sex Out 28, 2016 10:43

dV/d\theta=(dV/dr).(dr/d\theta),regra da cadeia...onde V(volume),r(raio),\theta(temperatura)...
temos q.dr/d\theta=0.01,pois d=2.r\Rightarrow dr=0.01d\theta\Rightarrow \int_{1/2}^{r}dr=\int_{0}^{20}d\theta\Rightarrow r-1/2=(0.01)*20\Rightarrow r=0.7cm,raio á temp.de 20°...logo:
dV/d\theta=(d(\pi.{r}^{2})/dr).dr/d\theta=2*\pi*L*r*0.01=2*\pi*100*0.7*0.01=1.4*\pi...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}