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[Calculo 1] Polinômio de Taylor

[Calculo 1] Polinômio de Taylor

Mensagempor LuisLemos » Seg Ago 01, 2016 22:36

Boa noite, estou tendo dificuldades nesta questão. Consegui fazer a letra B, mas a A não. Ficarei grato caso alguem possa me ajudar.

Se a expressão da segunda derivada de f, em função de x é f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2}, e sabendo que f(1) = 1, f'(1) = e,

A) Aproxime f(x) por um polinômio de grau 2 em torno de x = 1.

B) Determine f(x).



Colocarei o que eu consegui fazer abaixo:

"Letra b":

Se f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2},

Então f'(x) =\int\frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2} dx

Logo f'(x) = e^x - \frac{1}{x} + c

Como f'(1) = e

f'(1) = e^1 - \frac{1}{1} + c = e

c = 1

Portanto

f'(x) = e^x - \frac{1}{x} - 1

O mesmo raciocínio é válido para encontrar f(x):

Se f'(x) = e^x - \frac{1}{x} - 1,

Então f(x) = \int\((e^x -\frac{1}{x} - 1) \ dx

Logo f(x) = e^x -ln\left|x \right| +x +c

Como f(1) = 1

f(1) = e^1 - ln\left|1 \right| +1 +c = 1

c = - e

Logo f(x) = e^x -ln \left|x \right| +x -e

Já para a letra A, eu não sei o que fazer para encontrar uma aproximação para f(x) através de um polinômio de grau 2.
LuisLemos
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Re: [Calculo 1] Polinômio de Taylor

Mensagempor Cleyson007 » Ter Ago 02, 2016 12:40

Olá, bom dia amigo!

O polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x) ao redor de p é dado por:

{P}_{2}(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+\frac{f"(p)}{2}(x-p)^2

Comente qualquer dúvida.

Caso queira conhecer melhor o nosso trabalho, acesse:
viewtopic.php?f=151&t=13614

Abraço,

Prof. Clésio
A Matemática está difícil? Não complica! Mande para cá: descomplicamat@hotmail.com

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Cleyson007
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}