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[Calculo 1] Polinômio de Taylor

[Calculo 1] Polinômio de Taylor

Mensagempor LuisLemos » Seg Ago 01, 2016 22:36

Boa noite, estou tendo dificuldades nesta questão. Consegui fazer a letra B, mas a A não. Ficarei grato caso alguem possa me ajudar.

Se a expressão da segunda derivada de f, em função de x é f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2}, e sabendo que f(1) = 1, f'(1) = e,

A) Aproxime f(x) por um polinômio de grau 2 em torno de x = 1.

B) Determine f(x).



Colocarei o que eu consegui fazer abaixo:

"Letra b":

Se f''(x) = \frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2},

Então f'(x) =\int\frac{e^x(x^2+e^{-x})}{x^2} dx

Logo f'(x) = e^x - \frac{1}{x} + c

Como f'(1) = e

f'(1) = e^1 - \frac{1}{1} + c = e

c = 1

Portanto

f'(x) = e^x - \frac{1}{x} - 1

O mesmo raciocínio é válido para encontrar f(x):

Se f'(x) = e^x - \frac{1}{x} - 1,

Então f(x) = \int\((e^x -\frac{1}{x} - 1) \ dx

Logo f(x) = e^x -ln\left|x \right| +x +c

Como f(1) = 1

f(1) = e^1 - ln\left|1 \right| +1 +c = 1

c = - e

Logo f(x) = e^x -ln \left|x \right| +x -e

Já para a letra A, eu não sei o que fazer para encontrar uma aproximação para f(x) através de um polinômio de grau 2.
LuisLemos
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Re: [Calculo 1] Polinômio de Taylor

Mensagempor Cleyson007 » Ter Ago 02, 2016 12:40

Olá, bom dia amigo!

O polinômio de Taylor de ordem 2 de f(x) ao redor de p é dado por:

{P}_{2}(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+\frac{f"(p)}{2}(x-p)^2

Comente qualquer dúvida.

Caso queira conhecer melhor o nosso trabalho, acesse:
viewtopic.php?f=151&t=13614

Abraço,

Prof. Clésio
A Matemática está difícil? Não complica! Mande para cá: descomplicamat@hotmail.com

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Cleyson007
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)