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por LuisLemos » Qua Jul 27, 2016 21:27
Boa noite, não estou conseguindo entender como encontrar o máximo e o minimo global de uma função, após ter encontrado o máximo e o minimo local. Como exemplo, estou colocando uma questão que tentei resolver:
Determine os pontos de máximo e mínimo locais da função , dizendo quais destes pontos são máximos ou mínimos globais.O que eu fiz para encontrar os pontos de mínimo locais:
1º - Derivei a função:
2º - Igualei a função a zero para encontrar os pontos críticos:Como
é sempre positivo, a função só poderá ser zero quando
. Portanto as raízes dessa expressão (-2 e 0) serão os pontos críticos.
3º - Calculei a f'(x) para -3 , -1 e 1 para saber se a função é crescente ou decrescente antes e depois dos pontos críticos. (positivo)
(negativo)
(positivo)
4º - Determinei os pontos de mínimo e máximo locais:Como a função é crescente antes de -2 e decrescente após o -2, logo ele é um ponto de máximo local.
E como a função é decrescente antes do 0 e crescente após 0 , ele é um ponto de mínimo local.
A partir de agora eu não sei o que devo fazer para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais, caso existam.
Obs: O gabarito da questão informa que a função não possui máximo global e que o ponto 0 é mínimo global.
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LuisLemos
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por Daniel Bosi » Qua Jul 27, 2016 23:21
Olá LuisLemos.
Primeiramente, muito obrigado por ter postado a sua resolução de forma completa.
Você cometeu um erro de sinal no momento de derivar. Perceba que quando derivamos
pela regra
obtemos
.
Assim, derivando
pela regra do produto:
Assim, as raízes de
são 0 e 2.
Substituindo -1, 1 e 3 na derivada:
(negativo, portanto decrescente)
(positivo, portanto crescente)
(negativo, portanto decrescente)
OBS.: Essa parte
da derivada da função original que usamos para encontrar os pontos críticos é uma parábola. Nos intervalos onde esta parábola tem imagem negativa, a função original é decrescente. No intervalo onde esta parábola tem imagem positiva, a função original é crescente. O
que multiplica
na derivada não muda os pontos críticos nem o sinal da imagem, embora mude a função. Mas uma vez que o que nos interessa é analisar os pontos críticos e o sinal da imagem, convém considerar apenas a parte
por ser mais simples.
A partir dessa análise você já pode ter uma ideia de que 0 é um mínimo e 2 é um máximo. Como saber se eles são locais ou globais?
Para responder a essa questão eu aconselho fazer uma avaliação da função original
.
Essa função claramente não pode assumir valores negativos (pois nem
nem
podem ser negativos, independe do x; você consegue ver isso intuitivamente?), então é razoável dizer que a função
não pode ter imagem negativa. Se ela não pode ter imagem negativa, claramente 0 é um mínimo global.
Em relação ao ponto máximo 2, basta substituir um dos pontos usados para teste, -1 por exemplo, na função original
e perceber que o ponto -1 na função original dá a constante neperiana
, que é maior que 2. Portanto, 2 é máximo local.
Plotei a função original
(em verde) e a função
(em azul) no GeoGebra para você visualizar como todos esses pontos das funções se relacionam. Perceba como o gráfico verde muda a tendência de crescimento e decrescimento nas raízes da parábola azul (isto é, quando a imagem y da parábola muda de negativo para positivo e vice e versa).
Qualquer dúvida volte a questionar.
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Daniel Bosi
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por LuisLemos » Qui Jul 28, 2016 00:20
Nossa, obrigado pela resposta.
De fato eu errei o sinal na hora de derivar.
Pelo gráfico que você colocou eu consegui visualisar a relação entre a função não possuir imagem negativa com o zero ser mínimo global. Pois se a função não atinge valores menores que zero, ele será o menor valor da função. Sendo assim o mínimo global.
Em relação ao 2 ser somente máximo local. Você pegou um dos pontos utilizados para determinar os máximos e mínimos locais e substituiu na função original. Como o valor obtido foi maior que 2, então o 2 não poderia ser máximo global.
Em relação a isso eu fiquei com uma dúvida. Digamos que eu tenha uma outra função e que essa função possua vários pontos críticos. Eu teria que substituir vários pontos na função original para ter certeza que nenhum deles é superior ao ponto que eu encontrei como máximo local? ou teria uma forma mais prática de resolver?
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LuisLemos
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por Daniel Bosi » Qui Jul 28, 2016 00:43
Vou pegar o caso desse exercício como base para responder a sua questão, e a partir disso podemos generalizar a ideia.
A partir da derivada e da análise dos pontos críticos, percebemos que a função decresce antes do zero, cresce no intervalo aberto de 0 a 2, e volta a decrescer após o 2.
Percebemos também que esta função não pode ter imagem negativa.
Se ela não pode ter imagem negativa e descobrimos que o 0 é mínimo global, sabemos que essa função tem 0 como elemento mínimo.
Sabemos que ela tem um mínimo. Mas será que ela tem um máximo?
Recapitulando, tudo que sabemos a partir dos pontos críticos e do sinal da derivada é que: ela decresce até o zero, cresce de 0 a 2, decresce a partir do 2.
O pulo do gato consiste em perceber que: se ela decresce até o 0 sem um ponto crítico nos números negativos, existe uma chance grande de haver valores maiores que o 2 antes do 0.
Se não há ponto crítico antes desse decrescimento, isso dá uma boa intuição que a função cresce sem
limite quando x vai a
.
A estratégia é sempre testar valores que estão além dos pontos críticos "de fora", além de pensar sobre o comportamento geral da função.
Em caso de dúvidas estamos aí.
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Daniel Bosi
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por LuisLemos » Qui Jul 28, 2016 00:49
Nossa, depois de várias video aulas você me fez entender isso finalmente.
Muito obrigado
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LuisLemos
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42
Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois
2°) Admitamos que
, seja verdadeira:
(hipótese da indução)
e provemos que
Temos: (Nessa parte)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55
Boa noite Fontelles.
Não sei se você está familiarizado com o
Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.
Ele dá uma equação, no caso:
E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:
Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que
seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para
.
Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.
Espero ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28
Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32
Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25
Boa tarde Fontelles!
Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.
O que temos que provar é isso:
, certo? O autor começou do primeiro membro:
Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:
Que é outra verdade. Agora, com certeza:
Agora, como
é
a
, e este por sua vez é sempre
que
, logo:
Inclusive, nunca é igual, sempre maior.
Espero (dessa vez) ter ajudado.
Um abraço.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39
Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37
c.q.d. = como queriamos demonstrar =)
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33
Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05
Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Assunto:
Princípio da Indução Finita
Autor:
Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04
MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.
Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa.
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