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em Qui Abr 27, 2017 00:04
por LuisLemos » Qua Jul 27, 2016 21:27
Boa noite, não estou conseguindo entender como encontrar o máximo e o minimo global de uma
função, após ter encontrado o máximo e o minimo local. Como exemplo, estou colocando uma questão que tentei resolver:
Determine os pontos de máximo e mínimo locais da função , dizendo quais destes pontos são máximos ou mínimos globais.O que eu fiz para encontrar os pontos de mínimo locais:
1º - Derivei a função:
2º - Igualei a função a zero para encontrar os pontos críticos:Como
é sempre positivo, a
função só poderá ser zero quando
. Portanto as raízes dessa expressão (-2 e 0) serão os pontos críticos.
3º - Calculei a f'(x) para -3 , -1 e 1 para saber se a função é crescente ou decrescente antes e depois dos pontos críticos. (positivo)
(negativo)
(positivo)
4º - Determinei os pontos de mínimo e máximo locais:Como a
função é crescente antes de -2 e decrescente após o -2, logo ele é um ponto de máximo local.
E como a
função é decrescente antes do 0 e crescente após 0 , ele é um ponto de mínimo local.
A partir de agora eu não sei o que devo fazer para encontrar os pontos de máximo e mínimo globais, caso existam.
Obs: O gabarito da questão informa que a
função não possui máximo global e que o ponto 0 é mínimo global.
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LuisLemos
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por Daniel Bosi » Qua Jul 27, 2016 23:21
Olá LuisLemos.
Primeiramente, muito obrigado por ter postado a sua resolução de forma completa.
Você cometeu um erro de sinal no momento de derivar. Perceba que quando derivamos
pela regra
obtemos
.
Assim, derivando
pela regra do produto:
Assim, as raízes de
são 0 e 2.
Substituindo -1, 1 e 3 na derivada:
(negativo, portanto decrescente)
(positivo, portanto crescente)
(negativo, portanto decrescente)
OBS.: Essa parte
da derivada da
função original que usamos para encontrar os pontos críticos é uma parábola. Nos intervalos onde esta parábola tem imagem negativa, a
função original é decrescente. No intervalo onde esta parábola tem imagem positiva, a
função original é crescente. O
que multiplica
na derivada não muda os pontos críticos nem o sinal da imagem, embora mude a
função. Mas uma vez que o que nos interessa é analisar os pontos críticos e o sinal da imagem, convém considerar apenas a parte
por ser mais simples.
A partir dessa análise você já pode ter uma ideia de que 0 é um mínimo e 2 é um máximo. Como saber se eles são locais ou globais?
Para responder a essa questão eu aconselho fazer uma avaliação da
função original
.
Essa
função claramente não pode assumir valores negativos (pois nem
nem
podem ser negativos, independe do x; você consegue ver isso intuitivamente?), então é razoável dizer que a
função não pode ter imagem negativa. Se ela não pode ter imagem negativa, claramente 0 é um mínimo global.
Em relação ao ponto máximo 2, basta substituir um dos pontos usados para teste, -1 por exemplo, na
função original
e perceber que o ponto -1 na
função original dá a constante neperiana
, que é maior que 2. Portanto, 2 é máximo local.
Plotei a
função original
(em verde) e a
função (em azul) no GeoGebra para você visualizar como todos esses pontos das
funções se relacionam. Perceba como o gráfico verde muda a tendência de crescimento e decrescimento nas raízes da parábola azul (isto é, quando a imagem y da parábola muda de negativo para positivo e vice e versa).
Qualquer dúvida volte a questionar.
-
Daniel Bosi
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por LuisLemos » Qui Jul 28, 2016 00:20
Nossa, obrigado pela resposta.
De fato eu errei o sinal na hora de derivar.
Pelo gráfico que você colocou eu consegui visualisar a relação entre a função não possuir imagem negativa com o zero ser mínimo global. Pois se a função não atinge valores menores que zero, ele será o menor valor da função. Sendo assim o mínimo global.
Em relação ao 2 ser somente máximo local. Você pegou um dos pontos utilizados para determinar os máximos e mínimos locais e substituiu na função original. Como o valor obtido foi maior que 2, então o 2 não poderia ser máximo global.
Em relação a isso eu fiquei com uma dúvida. Digamos que eu tenha uma outra função e que essa função possua vários pontos críticos. Eu teria que substituir vários pontos na função original para ter certeza que nenhum deles é superior ao ponto que eu encontrei como máximo local? ou teria uma forma mais prática de resolver?
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LuisLemos
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por Daniel Bosi » Qui Jul 28, 2016 00:43
Vou pegar o caso desse exercício como base para responder a sua questão, e a partir disso podemos generalizar a ideia.
A partir da derivada e da análise dos pontos críticos, percebemos que a
função decresce antes do zero, cresce no intervalo aberto de 0 a 2, e volta a decrescer após o 2.
Percebemos também que esta
função não pode ter imagem negativa.
Se ela não pode ter imagem negativa e descobrimos que o 0 é mínimo global, sabemos que essa
função tem 0 como elemento mínimo.
Sabemos que ela tem um mínimo. Mas será que ela tem um máximo?
Recapitulando, tudo que sabemos a partir dos pontos críticos e do sinal da derivada é que: ela decresce até o zero, cresce de 0 a 2, decresce a partir do 2.
O pulo do gato consiste em perceber que: se ela decresce até o 0 sem um ponto crítico nos números negativos, existe uma chance grande de haver valores maiores que o 2 antes do 0.
Se não há ponto crítico antes desse decrescimento, isso dá uma boa intuição que a
função cresce sem limite quando x vai a
.
A estratégia é sempre testar valores que estão além dos pontos críticos "de fora", além de pensar sobre o comportamento geral da
função.
Em caso de dúvidas estamos aí.
-
Daniel Bosi
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por LuisLemos » Qui Jul 28, 2016 00:49
Nossa, depois de várias video aulas você me fez entender isso finalmente.
Muito obrigado
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LuisLemos
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Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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