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Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Mensagempor Reh » Qua Jul 20, 2016 18:52

Problema: Determine o coeficiente angular da curva f(x)=\sqrt{x} no ponto (4; 2) e a equação
da reta tangente à curva nesse ponto.

Estou com dificuldade em relação a fórmula para calcular, pois quando faço o gráfico e uso dois pontos, por exemplo, p1(4,2) e p2(9,3), para calcular o coeficiente angular m=\frac{\Delta y}{\Delta x} encontro algo que não é o coeficiente angular e da mesma forma para outros pontos do gráfico. Existe uma fórmula para o cálculo?

Desde já, grato pela contribuição. :-O
Reh
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Re: Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Mensagempor Daniel Bosi » Qua Jul 20, 2016 21:34

Olá Reh.

Você já aprendeu derivada? A forma de encontrar o coeficiente angular da reta tangente ao ponto da função é fazendo a derivada da função e substituindo o x do ponto (4,2) nessa derivada:

f(x) = \sqrt[]{x}

Derivada:

f'(x) = \frac{1}{2\times\sqrt[]{x}}

Substituindo a coordenada x do ponto (4,2) significa substituir o número 4 nessa derivada, encontrando o coeficiente angular da reta tangente \frac{1}{4}.

Portanto, a equação da reta tangente ao ponto (4,2) da função supracitada deve ser da forma g(x) = \frac{1}{4}x + c.

Ainda não conhecemos essa constante c, mas sabemos que a reta passa pelo ponto (4,2). Portanto, para o valor de x igual a 4, o y deve ser 2, assim:

\frac{1}{4}\times4 + c = 2

Isso significa que:

1 + c = 2

c = 2 - 1

c = 1

Portanto a equação da reta tangente à função f(x) = \sqrt[]{x} no ponto (4,2) é g(x) = \frac{1}{4}x + 1
Daniel Bosi
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Re: Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Mensagempor Reh » Qua Jul 20, 2016 23:58

Resolução perfeita, porém ainda não aprendi derivada. O meu professor disponibilizou essa resolução, sem a aplicação de derivadas, pois a questão é referente a prova de Limites. Detalhe, ele usa uma "fórmula" para encontrar o coeficiente angular.
m = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{4 + h} - \sqrt[]{4}}{h} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{4 + h} - \sqrt[]{4}}{h} * {} \frac{\sqrt[]{4 + h} + \sqrt[]{4}}{{\sqrt[]{4+h} + \sqrt[]{4}}{h}} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{{4 + h} - {4}}{h\left(\sqrt[]{4+h}+2 \right)}= \frac{h}{h\left( \sqrt[]{4+h}+2\right)} = \lim_{h\rightarrow0} \frac{1}{\sqrt[]{4+h}+2} \Rightarrow m = \frac{1}{4}

Acredito que a fórmula seja essa \lim_{h\rightarrow0} \frac{\sqrt[]{Xo+h}-\sqrt[]{Xo}}{h} aplicado ao ponto (4,2) onde Xo seria o 4, assim sendo substituído na fórmula para calcular o coeficiente angular. Faz sentido? :-D

Excelente dica, obrigado.
Reh
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Re: Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Mensagempor Daniel Bosi » Qui Jul 21, 2016 09:23

Bom dia, Reh.

Parece que o seu professor está trabalhando com a Derivada por Limite. Dê uma olhada no link abaixo onde é mostrada a fórmula da Derivada por Limite com exercícios resolvidos:

http://www.mtm.ufsc.br/~azeredo/calculo ... efDer.html
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Re: Calcular coeficiente angular e equação da reta tangente

Mensagempor Reh » Sex Jul 22, 2016 08:58

Sim, realmente parece ser isso, ótimo site com conteúdos de cálculo, ajudou muito.

Obrigado! :-D
Reh
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}