L'Hospital

por **duduxo81** » Sex Jul 08, 2016 11:30

Estou com uma dúvida referente se e possivel resolver o seguinte limite usando L'Hospital, segue abaixo o exercício

Imagem

por **vitor_jo** » Dom Jul 10, 2016 04:04

Não só pode como deve.

Note, isso tudo pode ser escrito como e^(xln[x-2]/[x+1]), certo?
Trabalhando agora com (xln[x-2]/[x+1]), você pode reescrevê-lo assim

(ln[x-2]/[x+1])/1/x, onde, se você aplicasse o limite, ter-se-ia 0/0, uma indeterminação, podendo-se usar L'Hopital

(Isso é um clássico problema de manipulação de limites para se resolver por L'Hopital).

Assim, derive em cima e embaixo (ln[x-2]/[x+1])/1/x)

Você vai ter em cima: 3/(x+1)(x-2) e embaixo, -1/x²,

Fazendo as devidas manipulações, você terá algo como e^[-3x²/x²...], jogando o limite, você terá e^(-3), eis a resposta.

por **adauto martins** » Seg Jul 11, 2016 17:29

usarei o limite fundamental:
$\lim_{x\rightarrow \infty}{(1+1/x)}^{x}=e$ ,onde

,é o

neperiano:
prim.vamos calcular:
$l=\lim_{x\rightarrow \infty}(x-2)^{x}$ ... $l=\lim_{x\rightarrow \infty}(1+(-2/x))^{x}=\lim_{y\rightarrow 0}(1+y)^{(-2/y)}=$ $\lim_{y\rightarrow 0}({(1+y)}^{1/y})^{-2}=(\lim_{y\rightarrow 0}(1+y)^{1/y})^{-2}$ = ${e}^{-2}$ ...logo:
$L=\lim_{x\rightarrow \infty}({(x-2)/(x+1)})^{x}=\lim_{x\rightarrow \infty} {(1-(2/x)/(1+1/x}))^{x}$ $\lim_{x\rightarrow \infty}(1-(2/x))^{x}/\lim_{x\rightarrow \infty}{(1+1/x)}^{x}$
$={e}^{-2}/e={e}^{-3}$ ...