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Duvida Integral Definida

Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 01:39

Olá pessoal, estou com uma lista de exercicio da disciplina sinais e sistemas e me deparei com a seguinte questão:

se f é uma função par e contínua no intervalo [-a,a] então:

Imagem

Gostaria de saber como eu faço pra chegar no resultado, se possível digam o passo a passo e quais regras eu devo usar, e fundamental saber isso na disciplina.
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor e8group » Dom Jul 03, 2016 20:52

Lembre que uma função f (definida num dominio simetrico ) é dita ser par se f(x) = f(-x) para todo x . Faça o esboço do gráfico de alguns exemplos f(x) = x^2  ;  a = 2 , f(x) = cos(x) ;  a = \pi/2 para fixar ideias ..Qual o comportamento de função continua par genérica num compacto simétrico [-2,2] , [-5,5], -[20,20] ou [-a,a] ...O que significa \int_{-a}^{a} f(x) dx geometricamnete??? Corresponde a area com sinal da area delimitada pela gráfico da função , eixo x , e as retas verticais x = -a e x = a ... So para fixar ideias supor f(x) \geq 0 .. Chame a região de R .. Assim , Area(R) \equiv  \int_{-a}^{a} f(x) dx ..Esta região se decompõe como união de duas regiões R_1 , R_2 cuja interseção é uma região tem medida (area) nula .. Quem são elas ??
Logo pela atividade da integral Area(R) = Area(R_1) + Area(R_2) .. Observe que R_1 pode ser obtida reflexão como reflexão de R_2 sobre o eixo y R_1 \ni (x,y) \mapsto (-x,y)   \in R_2 ... Intuitivamente , Area(R_1) = Area(R_2) .. Logo Area(R) = 2 Area(R_1) = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx .. Isto é intuitivo e nos leva a conjeturar oq vc postou .. A prova por sua vez é bem simples .. Basta verificar que

\int_{-a}^0 f(x)dx = \int_{0}^{x} f(x) dx . Dica use o fato que f é par + faça uma subsituição u = -2x ...
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 22:37

Primeiramente valeu pelas dicas santhiago, então, a teoria eu atendi, mas não to conseguindo efetuar o passo a passo dos cálculos até chegar no resultado final, parte e separar a integral em dois intervalos ok, mas e depois o que eu devo fazer? tem alguma forma pra mim utilizar?
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor e8group » Dom Jul 03, 2016 22:53

Chame de L:=\int_{0}^{a} f(x) dx (Atenção a variável x é muda , de modo que L=  \int_{0}^{a}  f(u) du  =  \int_{0}^{a}  f(z) dz etc )
Vamos mostrar que \int_{-a}^{0} f(x) dx = L . Daí o resultado segue já que a integral de f sobre [-a,a] é a soma destas integrais .

Ora, se f é par , então f(x) = f(-x) para todo x , logo \int_{-a}^{0} f(x) dx = \int_{-a}^{0} f(-x) dx .
Agora faça uma substituição u  = -x .Feito isto , verifique que (após trocar dx por -du e atualizar os limites de integração )
\int_{-a}^0 f(-x) dx = - \int_{a}^{0} f(u) du  = \int_{0}^{a} f(u) du = L .

Obs.: Vale um resultado análogo para ímpar no lugar de par , mas o valor da integral será zero .
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor douglasnickson » Dom Jul 03, 2016 23:53

Agora acho que entendi, ai no caso no final qnd trocar o U pelo -x por ser par eu posso fazer o processo inverso e voltar o x e o -du qnd eu trocar os limites cancela o menos não eh isso?
ai voltando pra x eu somo com a outra integral e da o resultado da questão correto?

Agora vou fazer pra parte impar que também pede, o processo e o mesmo neh?
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Re: Duvida Integral Definida

Mensagempor adauto martins » Ter Jul 05, 2016 15:25

primeiramente mostrarei q. sendo f(x) uma funçao par,teremos:
a)
\int_{-a}^{0}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx...de fato,pois
\int_{-a}^{0}f(x)dx=-\int_{-(-a)}^{0}f(-x)dx=-\int_{a}^{0}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(-x)dx=\int_{0}^{a}f(x)dx...
entao...
I=\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx,por a)teremos entao:
I=\int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{0}^{a}f(x)dx=2.\int_{0}^{a}f(x)dx...
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.