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[Limites] Exercício

[Limites] Exercício

Mensagempor hugohggomes » Qui Jun 09, 2016 21:13

Olá, Boa Noite à todos!

Estou precisando da ajuda para calcular o limite nessa questão :

lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}

Agradeço desde já! :-D
hugohggomes
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Re: [Limites] Exercício

Mensagempor e8group » Qui Jun 09, 2016 23:42

Buenas ... Olhe para o numerador com um pouco mais de atenção para ver o mesmo é precisamente (\sqrt[3]{x} - 1)^2 .

Para ilustrar o raciocínio , vejamos um caso familiar para fixar as idéias .. Escolha seu favorito number a .

Passo 0 - Sabemos que x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) . Podemos obter esta igualdade também pela divisão do polinômio x^2 -a^2 por x - a . Trocando x por \sqrt{x} e a por \sqrt{a} temos ((\sqrt{x})^2 -(\sqrt{a})^2 = (\sqrt{x} -\sqrt{a})(\sqrt{x}  + \sqrt{a}) . Observe que o primeiro membro fica x -a e assim obtem-se a identidade \frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{\sqrt{x} + \srqt{a}} .Evidentemente há formas mais diretas de obter esta identidade ,e.g. , multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de \sqrt{x} - \sqrt{a}} , entretanto este raciocinio falha para o caso \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} .

Passo 1 - Vc precisa saber fazer divisão de polinômios .. Fica difícil expor aqui o algoritmo .. Note que o quociente de x^3 -a^3 por x- a é x^2 + ax + a^2 e o resto constante ; logo polinômio nulo ...Assim , x^3 - a^3  =  (x-a)(x^2 + ax + a^2 ) .

Trocando x por \sqrt[3]{x} e a por \sqrt[3]{a} temos ((\sqrt[3]{x})^3 -(\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x}  + (\sqrt[3]{a} )^2 )) . Observe que o primeiro membro fica x -a e assim obtem-se a identidade \frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x}  + (\sqrt[3]{a} )^2}

E o processo continuar ....

Passo 2 -
x^4 - a^4 =  (x-a)(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)  =  (x-a)(\sum_{i=0}^{3}  x^{3-i} a^i )

\frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}}{x-a} =  \frac{1}{\sum_{i=0}^{3}  (\sqrt[4]{x})^{3-i} (\sqrt[4]{a})^i}

(...)

Passo ( n -2)

x^n - a^n = (x-a) \sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i


\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} }{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i }
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.