• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[Limites] Exercício

[Limites] Exercício

Mensagempor hugohggomes » Qui Jun 09, 2016 21:13

Olá, Boa Noite à todos!

Estou precisando da ajuda para calcular o limite nessa questão :

lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}

Agradeço desde já! :-D
hugohggomes
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Qui Jun 09, 2016 20:59
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando

Re: [Limites] Exercício

Mensagempor e8group » Qui Jun 09, 2016 23:42

Buenas ... Olhe para o numerador com um pouco mais de atenção para ver o mesmo é precisamente (\sqrt[3]{x} - 1)^2 .

Para ilustrar o raciocínio , vejamos um caso familiar para fixar as idéias .. Escolha seu favorito number a .

Passo 0 - Sabemos que x^2 - a^2 = (x-a)(x+a) . Podemos obter esta igualdade também pela divisão do polinômio x^2 -a^2 por x - a . Trocando x por \sqrt{x} e a por \sqrt{a} temos ((\sqrt{x})^2 -(\sqrt{a})^2 = (\sqrt{x} -\sqrt{a})(\sqrt{x}  + \sqrt{a}) . Observe que o primeiro membro fica x -a e assim obtem-se a identidade \frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{\sqrt{x} + \srqt{a}} .Evidentemente há formas mais diretas de obter esta identidade ,e.g. , multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de \sqrt{x} - \sqrt{a}} , entretanto este raciocinio falha para o caso \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a} .

Passo 1 - Vc precisa saber fazer divisão de polinômios .. Fica difícil expor aqui o algoritmo .. Note que o quociente de x^3 -a^3 por x- a é x^2 + ax + a^2 e o resto constante ; logo polinômio nulo ...Assim , x^3 - a^3  =  (x-a)(x^2 + ax + a^2 ) .

Trocando x por \sqrt[3]{x} e a por \sqrt[3]{a} temos ((\sqrt[3]{x})^3 -(\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x}  + (\sqrt[3]{a} )^2 )) . Observe que o primeiro membro fica x -a e assim obtem-se a identidade \frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x}  + (\sqrt[3]{a} )^2}

E o processo continuar ....

Passo 2 -
x^4 - a^4 =  (x-a)(x^3 + x^2 a + xa^2 + a^3)  =  (x-a)(\sum_{i=0}^{3}  x^{3-i} a^i )

\frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}}{x-a} =  \frac{1}{\sum_{i=0}^{3}  (\sqrt[4]{x})^{3-i} (\sqrt[4]{a})^i}

(...)

Passo ( n -2)

x^n - a^n = (x-a) \sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i


\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} }{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i }
e8group
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1400
Registrado em: Sex Jun 01, 2012 12:10
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Elétrica
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 9 visitantes

 



Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.


cron