Estou precisando da ajuda para calcular o limite nessa questão :
![lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}](/latexrender/pictures/7b54080ab6ded82daa58f791f4a9849b.png "lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt[3]{x}^{2}-2\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^2}")
Agradeço desde já!
por hugohggomes » Qui Jun 09, 2016 21:13
por e8group » Qui Jun 09, 2016 23:42
![(\sqrt[3]{x} - 1)^2](/latexrender/pictures/7a25102f7c33b960cb17b39921dd7493.png "(\sqrt[3]{x} - 1)^2")
. 
.
. Podemos obter esta igualdade também pela divisão do polinômio 
por 
. Trocando 
por 
e por 
temos 
. Observe que o primeiro membro fica 
e assim obtem-se a identidade 
.Evidentemente há formas mais diretas de obter esta identidade ,e.g. , multiplicando em cima e em baixo pelo conjugado de 
, entretanto este raciocinio falha para o caso ![\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}](/latexrender/pictures/b880959da811be97867fd03c58e27e25.png "\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{a}")
.
por 
é 
e o resto constante ; logo polinômio nulo ...Assim , 
. por ![\sqrt[3]{x}](/latexrender/pictures/6833f4eaccfb60d5c13fdf6b6cc30aef.png "\sqrt[3]{x}")
e por ![\sqrt[3]{a}](/latexrender/pictures/76b1e479f805bb036a3487aeb35932e5.png "\sqrt[3]{a}")
temos ![((\sqrt[3]{x})^3 -(\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2 ))](/latexrender/pictures/2c2d22668782886c290a045df8cc9f10.png "((\sqrt[3]{x})^3 -(\sqrt[3]{a})^3 = (\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{a})((\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2 ))")
. Observe que o primeiro membro fica e assim obtem-se a identidade ![\frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2}](/latexrender/pictures/822d79b6f48b8d0146ac910f30c7456b.png "\frac{\sqrt{x} - \srqt{a} }{x-a } = \frac{1}{(\sqrt[3]{x} )^2 + (\sqrt[3]{a} (\sqrt[3]{x} + (\sqrt[3]{a} )^2}")
![\frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}}{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{3} (\sqrt[4]{x})^{3-i} (\sqrt[4]{a})^i}](/latexrender/pictures/41467f7f9695bb79a710a51e5124585a.png "\frac{ \sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{a}}{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{3} (\sqrt[4]{x})^{3-i} (\sqrt[4]{a})^i}")
![\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} }{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i }](/latexrender/pictures/441b0ee931c473699f94a3ab6071d81c.png "\frac{\sqrt[n]{x} - \sqrt[n]{a} }{x-a} = \frac{1}{\sum_{i=0}^{n-1} x^{n-1-i} a^i }")
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![\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}](/latexrender/pictures/981987c7bcdf9f8f498ca4605785636a.png "\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}")
![\sqrt[]{2}](/latexrender/pictures/f21662d1cabab6e8b273a4b6f1cd663a.png "\sqrt[]{2}")
(dica : igualar a expressão a e elevar ao quadrado os dois lados)