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[Derivada] Parcial como Taxa de Variação

[Derivada] Parcial como Taxa de Variação

Mensagempor Whitesttax » Ter Abr 26, 2016 17:18

Boa tarde.
Não estou conseguindo resolver o seguinte problema:
Um reservatório de areia tem o formato de uma pirâmide invertida de base quadrada. A taxa de vazão da areia deste reservatório diminui a uma velocidade de 40pi cm^3/min.
Esta areia forma no chão um monte cônico. O volume total de areia no reservatório era 243pi cm^3. Determine a velocidade com que aumenta a altura do cone quando um terço da areia já caiu do reservatório. Sabendo que neste instante a altura do monte é 3cm e o raio aumenta uma taxa de 0,3cm/min.

O que já tentei fazer foi aplicar a fórmula do volume do cone, que se estou certo é V = pi*r^2*h / 3. Aí derivei para descobrir a altura mas está dando um resultado negativo, e bem errado (a resposta certa é 1.28cm/min)
Um ponto que talvez errei foi usar a taxa de variação do volume da pirâmide na conta debaixo sem mudar nada, não sei o que teria que mudar... O raio eu consegui aplicando a fórmula do volume também, só que sem derivar.
Mais ou menos assim...
-40\pi = 2\pi*r*h/3 *0,3 + \pi*r^2/3 * \partial h/\partial t

Obrigado!
Whitesttax
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Re: [Derivada] Parcial como Taxa de Variação

Mensagempor adauto martins » Sáb Mai 07, 2016 21:21

encontrei um valor prox. ao valor da resposta,vamos á soluçao:
1){V}_{c}/{V}_{p}=((1/3)\pi.{r}^{2}.{h}_{c})/((1/3).{l}^{2}.{h}_{p})=(\pi.{r}^{2}.{h}_{c})/({l}^{2}.{h}_{p})=1,pois os volumes serao os mesmos...
\Rightarrow {h}_{c}/{h}_{p}={l}^{2}/(\pi.{r}^{2})\Rightarrow {h}_{c}={h}_{p}.{l}^{2}/(\pi.{r}^{2})...
2){V}_{p}=(1/3).{l}^{2}.{h}_{p}\Rightarrow (243.3.\pi)={l}^{2}.{h}_{p}\Rightarrow {l}^{2}.{h}_{p}=729.\pi...
substituindo o resultado na prim.relaçao teremos:
{h}_{p}=(729.\pi)/(\pi.{r}^{2})\Rightarrow r=\sqrt[]{729/3}=\sqrt[]{243}\Rightarrow {h'}_{p}=-(729.\pi).2.r.r'/({r}^{4})=-(729.\pi.2).r'/{r}^{3}=-(1458.\pi)/{(\sqrt[]{243)}}^{3})...{h'}_{p} \simeq -1.21 (cm/mit),osinal negativo é pq a areia esta caindo,questao de referencial...em valor absoluto é o calculado...
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Re: [Derivada] Parcial como Taxa de Variação

Mensagempor adauto martins » Dom Mai 08, 2016 00:15

caro Whitesttax e colegas do site,
a resoluçao apresentada por mim do exercicio esta incorreta,pois nao levei em consideraçao a açao da gravidade sobre a areia q. cai da piramide...entao em ocasiao oportuna irei apresenta uma soluçao correta,no mais obrigado...
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Re: [Derivada] Parcial como Taxa de Variação

Mensagempor adauto martins » Qua Mai 11, 2016 12:21

vamos considerar a areia q. escoa fazendo o cone,dessa forma podemos eliminar o fator da gravidade q. atua na areia da piramide,entao:
a vazao da areia da piramide sera a mesma q. forma o cone,pois o tempo de esoamento da areia da piramide,sera o mesmo da formaçao do cone,logo:
(d/dt){V}_{p}=(d/dt){V}_{c}\Rightarrow (d/dt){V}_{c}=(dV/dh).(dh/dt)=V'(h).h'(t)(aqui regra da cadeia)1)40.\pi=V'(h).h'(t)...temos q.:
{V}_{c}=(1/3).\pi.{r}^{2}.h,p/ o instante pedido teremos:
(243.\pi)/3=(1/3).\pi.{r}^{2}.h\Rightarrow r=\sqrt[]{243/3}=9...
dV/dh=(1/3).\pi.{r}^{2}=(1/3).\pi.81=27.\pi...
voltando a 1º eq.
40.\pi=27.\pi.h'(t)\Rightarrow h'(t) \simeq 1.48...bom é isso,obrigado
adauto martins
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Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


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Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: