limites com raiz quarta

por **bhs** » Sáb Abr 23, 2016 20:40

Como resolver limite deste ?

$\lim_{2}\frac{\sqrt[4]{{x}^{3}}-\sqrt[4]{{2}^{3}}}{x-2}$

por **DanielFerreira** » Dom Abr 24, 2016 00:09

Olá bhs, seja bem-vindo(a)!!

Para resolver esse limite, devemos racionalizar o numerador, veja este tópico: http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=120&t=18174. É bem parecido!

por **bhs** » Dom Abr 24, 2016 21:17

Obrigado Daniel mais ainda não entendi pois queria saber mais se teria alguma diferença pois se tivesse isto raiz quadrada
$\lim_{2}\frac{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{2}}{x-2}=\frac{\sqrt[]{x}-\sqrt[]{2}}{x-2}.\frac{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{x}+\sqrt[]{2}}= \frac{(\left x-2 \right)}{(\left x-2 \right).\left(\sqrt[]{x}+\sqrt[]{2} \right)}$
se tivesse raiz cúbica seria daquela forma do link que enviou. E raiz quarta como seria não achei nenhum material que atenda esta raiz quarta ?

por **DanielFerreira** » Dom Abr 24, 2016 23:38

Note que:

$\\ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \\ a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) \\ a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) \\ (...)$

Com efeito,

$\\ \sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{2^3} = \\\\ x^{\frac{3}{4}} - x^{\frac{3}{4}} = \\\\ \left ( x^{\frac{^1}{4}} \right )^3 - \left ( 2^{\frac{^1}{4}} \right )^3 = \\\\ \left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left ( x^{\frac{2}{4}} + (2x)^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{2}{4}} \right ) = \\\\ \left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left ( x^{\frac{1}{2}} + (2x)^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{1}{2}} \right )$

Agora, observe que

$\\ x - 2 = \left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left [ (x^{\frac{1}{4}})^3 + (x^{\frac{1}{4}})^2 \cdot (2^{\frac{1}{4}})^1 + (x^{\frac{1}{4}})^1 \cdot (2^{\frac{1}{4}})^2 + (2^{\frac{1}{4}})^3 \right ] = \\\\\\ x - 2 = \left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left ( x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} \right )$

Por fim, basta resolver o limite abaixo:

$\\ \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[4]{x^3} - \sqrt[4]{2^3}}{x - 2} = \\\\\\ \lim_{x \to 2} \frac{\left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left ( x^{\frac{1}{2}} + (2x)^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{1}{2}} \right )}{\left ( x^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} \right )\left ( x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} \right )} = \\\\\\ \lim_{x \to 2} \frac{\left ( x^{\frac{1}{2}} + (2x)^{\frac{1}{4}} + 2^{\frac{1}{2}} \right )}{\left ( x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{2}} + 2^{\frac{3}{4}} \right )} = \\\\\\ (...) \\ \boxed{\frac{3}{4\sqrt[4]{2}}}$

Espero ter ajudado!