[Laplaciano] Calcule o laplaciano da função dada:

por **Eletrica07** » Ter Mar 29, 2016 15:48

Boa tarde pessoal, estou com dúvida para calcular o laplaciano desta expressão: $\varphi\left(x,y \right)=\arctan\frac{x}{y},y>0$

A dúvida acontece quando vou derivar a primeira vez em relação ao x segundo uma tabela que tenho aqui dada pelo professor deve-se usar a seguinte regra : $Dx\, \arctan u=\,\frac{Dxu}{1+{u}^{2}}$ , então eu uso esta regra e chego no seguinte: $\frac{1}{y}\div1+\left(\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)$ , mas quando faço essa derivação no symbolab ou vejo a resolução na internet o resultado da o seguinte: $\frac{y}{{x}^{2}+{y}^{2}}$ . Alguém por favor poderia me dar uma explicação mais detalhada?

por **adauto martins** » Qua Mar 30, 2016 13:31

$\Delta \varphi =({\partial}^{2}/{\partial}x^{2})\varphi + ({\partial}^{2}/{\partial}y^{2})\varphi$ ...
1)em relaçao a x,
$(\partial/ \partial x)(arct(x/y))=(1/y)/(1+({x/y})^{2})$ ...
$(\partial/\partial y)(1/y)/({(1+(x/y)})^{2}=(1/y).(-2(x/y)/({(1+{(x/y)}^{2}})^{2}=$
$-2(x/{y}^{2})/({(1+{(x/y)}^{2}})^{2}$
2)em relaçao a y,
$(\partial/\partial y)(arct(x/y))=-(x/{y}^{2})/(1+{(x/y)}^{2})$
$(\partial/\partial y)(-(x/{y}^{2})/(1+{(x/y)}^{2}))...$ haja calculo,termine ai...

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