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[INTEGRAL] Integração e anti-derivada

[INTEGRAL] Integração e anti-derivada

Mensagempor bencz » Sex Mar 18, 2016 10:42

Estou estudando integração, e me deparei com o seguinte exercício:
\int_{1}^{2} x*{({x}^{2} + 1)}^{5}dx

Após pegar a variável u e sua derivada, u = ({x}^{2} + 1), du = 2xdx, eu coloco na integral, com os valores limites recalculados, mas eu não consigo entender o por que o x que esta fora do parenteses 'some' da integração, na proxima etapa onde eu iria colocar o u para ser integrado, eu já coloco mais o x.
\frac{1}{2} \int_{2}^{5} {u}^{5}du

Por que, sendo que, se eu tivesse que calcular a anti-derivada do x, eu deveria colocar na equação p/ ser calculada também ?
bencz
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Re: [INTEGRAL] Integração e anti-derivada

Mensagempor anselmojr97 » Dom Mar 20, 2016 17:09

Olá, Bencz.

Quando você faz du=2xdx o próximo passo será achar o valor de dx para substituir na integral, porque agora estará em função de u e não mais em função de x. Então ficará:

du=2xdx

\[ \frac{du}{2x} \] = dx

Aí você substitui na Integral.

\int_{1}^{2} x*{u}^{5}\frac{du}{2x}

Como é tudo produto, você pode simplificar o x do numerador por o do denominador. Ficando assim:

\int_{1}^{2} {u}^{5}\frac{du}{2}

Você pode passar a constante \frac{1}{2} para fora Integral:

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{u}^{5}du

Assim você pode desenvolver o restante da Integral.
(Caso tenha alguma duvida sobre o restante do desenvolvimento, é só falar.)
Espero ter ajudado.
Abraços.


"Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito". (Fenelon)
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}