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[INTEGRAL] Integração e anti-derivada

[INTEGRAL] Integração e anti-derivada

Mensagempor bencz » Sex Mar 18, 2016 10:42

Estou estudando integração, e me deparei com o seguinte exercício:
\int_{1}^{2} x*{({x}^{2} + 1)}^{5}dx

Após pegar a variável u e sua derivada, u = ({x}^{2} + 1), du = 2xdx, eu coloco na integral, com os valores limites recalculados, mas eu não consigo entender o por que o x que esta fora do parenteses 'some' da integração, na proxima etapa onde eu iria colocar o u para ser integrado, eu já coloco mais o x.
\frac{1}{2} \int_{2}^{5} {u}^{5}du

Por que, sendo que, se eu tivesse que calcular a anti-derivada do x, eu deveria colocar na equação p/ ser calculada também ?
bencz
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Re: [INTEGRAL] Integração e anti-derivada

Mensagempor anselmojr97 » Dom Mar 20, 2016 17:09

Olá, Bencz.

Quando você faz du=2xdx o próximo passo será achar o valor de dx para substituir na integral, porque agora estará em função de u e não mais em função de x. Então ficará:

du=2xdx

\[ \frac{du}{2x} \] = dx

Aí você substitui na Integral.

\int_{1}^{2} x*{u}^{5}\frac{du}{2x}

Como é tudo produto, você pode simplificar o x do numerador por o do denominador. Ficando assim:

\int_{1}^{2} {u}^{5}\frac{du}{2}

Você pode passar a constante \frac{1}{2} para fora Integral:

\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{u}^{5}du

Assim você pode desenvolver o restante da Integral.
(Caso tenha alguma duvida sobre o restante do desenvolvimento, é só falar.)
Espero ter ajudado.
Abraços.


"Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito". (Fenelon)
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.