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[DERIVADAS] Exercicios de derivação

[DERIVADAS] Exercicios de derivação

Mensagempor bencz » Seg Mar 14, 2016 12:56

Bom dia.
Estou resolvendo alguns exercícios de derivadas, e tem 2 exercícios que não tenho a menor ideia de como resolver, os exercícios são:
Exercicio 1:

Seja f definida e derivavel em R tal que, para todo x, f'(x) = \alpha f(x).
Prove que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f(x) = k{e}^{\alpha x}
Dica: Mostre que \frac{f(x)}{{e}^{\alpha x}} é constante para todo x \in  R


Exercicio 2:

Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em R. Suponha que f(0) = 0 e g(0) = 1 e que para todo x f'(x) = g(x) e g'(x) = -f(x).

a) Mostre que para todos x, {(f(x) - sen(x))}^{2} + {(g(x) - cos(x))}^{2} = 0
b) Conclua pelo item anterior que f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).


Agradeço a ajuda.
bencz
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Re: [DERIVADAS] Exercicios de derivação

Mensagempor adauto martins » Seg Mar 14, 2016 19:07

1)
f'(x)=a.f(x)\Rightarrow f'(x)/f(x)=a...,integrando em relaçao a x,e sendo integral indefinida,existira c
tal q. \int_{}^{}(f'(x)/f(x))dx=\int_{}^{}adx+c\Rightarrow ln\left|f(x) \right|=ax+c\Rightarrow f(x)={e}^{ax+c=}={e}^{ax}.{e}^{c}=K.{e}^{ax}
2)
seja h(x)={(f(x)-senx})^{2}+{(g(x)-cosx})^{2}\Rightarrow
h'(x)=2.(f(x)-senx).(f'(x)-(d/dx)senx)+2.(g(x)-cosx).(g'(x)-(d/dx)cosx)...
h'(x)=2.(f-senx).(f'-cosx)+2.(g-cosx)(g'+senx)=2.((f.f'-fcosx-f'senx+senxcosx)+(g.g'+gsenx-g'cosx-senxcosx))=2.(f.g-fcosx-gsenx+senxcosx-fg+gsenx+fcosx-senxcosx)=2.0=0
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.