[DERIVADAS] Exercicios de derivação

por **bencz** » Seg Mar 14, 2016 12:56

Bom dia.
Estou resolvendo alguns exercícios de derivadas, e tem 2 exercícios que não tenho a menor ideia de como resolver, os exercícios são:

Exercicio 1:

Seja definida e derivavel em tal que, para todo , $f'(x) = \alpha f(x)$ .
Prove que existe uma constante tal que, para todo , tem-se $f(x) = k{e}^{\alpha x}$
Dica: Mostre que $\frac{f(x)}{{e}^{\alpha x}}$ é constante para todo $x \in R$

Exercicio 2:

Sejam e duas funções definidas e deriváveis em . Suponha que e e que para todo e .

a) Mostre que para todos , ${(f(x) - sen(x))}^{2} + {(g(x) - cos(x))}^{2} = 0$
b) Conclua pelo item anterior que e .

Agradeço a ajuda.

por **adauto martins** » Seg Mar 14, 2016 19:07

1)
$f'(x)=a.f(x)\Rightarrow f'(x)/f(x)=a...$ ,integrando em relaçao a x,e sendo integral indefinida,existira

tal q. $\int_{}^{}(f'(x)/f(x))dx=\int_{}^{}adx+c\Rightarrow ln\left|f(x) \right|=ax+c\Rightarrow f(x)={e}^{ax+c=}={e}^{ax}.{e}^{c}=K.{e}^{ax}$
2)
seja $h(x)={(f(x)-senx})^{2}+{(g(x)-cosx})^{2}$ $\Rightarrow$
h'(x)=2.(f(x)-senx).(f'(x)-(d/dx)senx)+2.(g(x)-cosx).(g'(x)-(d/dx)cosx)

h'(x)=2.(f(x)-senx).(f'(x)-(d/dx)senx)+2.(g(x)-cosx).(g'(x)-(d/dx)cosx)

...

h'(x)=2.(f-senx).(f'-cosx)+2.(g-cosx)(g'+senx)=2.((f.f'-fcosx-f'senx+senxcosx)+(g.g'+gsenx-g'cosx-senxcosx))=2.(f.g-fcosx-gsenx+senxcosx-fg+gsenx+fcosx-senxcosx)=2.0=0

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