Limites

[Bruce]

Minha duvida é sobre Limites envolvendo o infinito.


Por que um limite como o da imagem tende ao infinito quando se aproxima de um certo valor? Quais as razões pra isso ocorrer? Por que quanto mais próximo ele fica do valor mais longe fica seu limite ? Quais justificativas pra isso ocorrer?

OBS: Não quero explicações de como calcular a suposta "indeterminação", e sim, as causas de tal fato ocorrer.

[Gebe]

Primeiramente esta função não possui limite. Nem "+infinito" nem "-infinito", esta função simplesmente não possui uma tendencia quando se aproxima de 0 (zero).
Lembra que pra que o limite exista, o limite pela esquerda e pela direita (0- e 0+) tem de ser iguais, o que não ocorre para esta função. Quando fazemos o limite pela esquerda e pela direita temos duas respostas diferentes, como segue:

Pela esquerda (0-)


Pela direita (0+)


Como tu podes ver os limites são diferentes e, portanto, o limite de 1/x quando este se aproxima de 0 não existe. Vale lembrar que alguns autores consideram que limites com resposta infinita ( tanto +inf quanto -inf) como uma não existencia do limite, logo é bom cuidar este tipo de informação que pode confundir bastante.

Ja quanto a tua pergunta de por que o limite cresce a medida que se aproxima de um valor (limite "explode") é bem simples. Isto normalmente acontece quando a variavel do limite esta tendendo para um "zero" do denominador da função (um polo). Em 1/x , por exemplo, o denominador tem como "zero" (raiz) o numero 0.

Agora imagina que estamos nos aproximando de 0, quanto mais nos aproximamos, menor o valor é, por exemplo, x->1 , x->0.1 , x->0.01 , ... , x->0.0000000001 e quando computamos estes valores na função, o valor dela começa a aumentar indefinidamente, ou seja, quando x->0 o valor da função é tao grande que podemos dizer que tende ao infinito.

Exemplo:
f(x) = 1/x => f(0.00000000000001) = 100.000.000.000.000
f(x) = 1/x => f(-0.00000000000000000000001) = -100.000.000.000.000.000.000.000

Um bom exemplo para avaliar isto é a função 1/(x² - 1) ,pois para esta função, sim, temos um limite infinito quando a função se aproxima de 1 (ou -1).
Observe que tanto o limite pela esquerda e pela direita são iguais valendo infinito.

Espero ter ajudado, bons estudos!