Primeiramente esta função não possui
limite. Nem "+infinito" nem "-infinito", esta função simplesmente não possui uma tendencia quando se aproxima de 0 (zero).
Lembra que pra que o
limite exista, o
limite pela esquerda e pela direita (0- e 0+) tem de ser iguais, o que não ocorre para esta função. Quando fazemos o
limite pela esquerda e pela direita temos duas respostas diferentes, como segue:
Pela esquerda (0-)
Pela direita (0+)
Como tu podes ver os
limites são diferentes e, portanto, o
limite de 1/x quando este se aproxima de 0 não existe. Vale lembrar que alguns autores consideram que
limites com resposta infinita ( tanto +inf quanto -inf) como uma não existencia do
limite, logo é bom cuidar este tipo de informação que pode confundir bastante.
Ja quanto a tua pergunta de por que o
limite cresce a medida que se aproxima de um valor (
limite "explode") é bem simples. Isto normalmente acontece quando a variavel do
limite esta tendendo para um "zero" do denominador da função (um polo). Em 1/x , por exemplo, o denominador tem como "zero" (raiz) o numero 0.
Agora imagina que estamos nos aproximando de 0, quanto mais nos aproximamos, menor o valor é, por exemplo, x->1 , x->0.1 , x->0.01 , ... , x->0.0000000001 e quando computamos estes valores na função, o valor dela começa a aumentar indefinidamente, ou seja, quando x->0 o valor da função é tao grande que podemos dizer que tende ao infinito.
Exemplo:
f(x) = 1/x => f(0.00000000000001) = 100.000.000.000.000
f(x) = 1/x => f(-0.00000000000000000000001) = -100.000.000.000.000.000.000.000
Um bom exemplo para avaliar isto é a função 1/(x² - 1) ,pois para esta função, sim, temos um
limite infinito quando a função se aproxima de 1 (ou -1).
Observe que tanto o
limite pela esquerda e pela direita são iguais valendo infinito.
Espero ter ajudado, bons estudos!
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