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[Comprimento de Arco] Deduzir funções para Integrar

[Comprimento de Arco] Deduzir funções para Integrar

Mensagempor Mendes » Dom Ago 23, 2015 15:10

Enunciado:
Um engenheiro resolveu construir uma escada na sua casa que possuia dois andares, mas teve dúvida na construção do corrimão porque as duas escadas formavam dois arcos. Sabendo que o corrimão começa com a escada e que de uma escada para outra o arco faz um giro. Determine a função, os pontos de início e fim de cada arco para cada andar, sabendo que a altura não pode ultrapassar 1m e que esses dois arcos formam uma parábola semicúbica e que o comprimento não pode ultrapassar 5 unidades de comprimento.

Eu sei que terei que somar a integral das duas funções, e também sei que as integrais vão de 0 a 1 e de 1 a 2 respectivamente, para respeitar a altura de 1m.

Pela definição de parábola semicúbica temos que f(x) = ax^{3/2}
Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1 ... %C3%BAbica

Segue em anexo um esboço do que eu consegui deduzir num gráfico. Não sei se está certo, mas foi o que eu tentei.

Dúvida: Eu queria saber como deduzir as funções solicitadas? Não sei por onde começar :?:
Anexos
questao[1].jpg
Esboço de gráfico
Mendes
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}