Suponha f não identicamente nula , então podemos escrever
para designar
o número irracional tal que
. Só para fixar ideias , assuma
(0 outro caso é inteiramente análogo ) . Como f é contínua , então vale a " conservação do sinal " , e assim teremos , para algum
,
para todo
.Mas , pela densidade dos racionais em
, temos
, o que implica
p/ algum x racional que es uma contradição !
Outra forma ...Sobre as mesmas hipóteses acima sobre
. Fixe
. Dado qualquer
, por densidade , o intervalo aberto
contém números racionais .Assim , temos um racional
, mas
descontínua em
(Contradição !)
Alternativamente ,(assumindo que o leitor está familiarizado com a topologia de
)
1)
usando o fato que preimagem (= imagem inversa ) de um aberto (do espaço de chegada ) por uma aplicação contínua é também um aberto (do espaço de saída ), temos que o conjunto abaixo
é aberto em
, pois tal conjunto é simplesmente a preimagem do intervalo aberto
pela aplicação contínua
. Ora , então só pode ser
, do contrário , dado
, podemos obter
tal que
, uma contradição ! (Pois
é denso em
, e isto implica
)x]
2 )
Nota que se para algum
, tem-se
então f se anula em todos os pontos do fecho de X
. Fixe
. Qualquer intervalo aberto contendo x tem interseção não vazia com X (usando a caracterização para o fecho ) . Nota que ou
ou
. Se
fosse
, tomando
, o intervalo aberto
não conteria o zero . Mas , para qualquer
,
é não vazio (pois x está no fecho de X ) .Assim , dado
temos
o que implica f descontínua em x . Contradição ! Portanto ,
.Como x é arbitrário , obtemos
.
Em particular se X for denso (e.g. ,
) , então f se anula em todos os pontos de
P.S.:
Fixados os universos
...
Dada qualquer aplicação
, podemos definir as seguintes funções
e
.
Onde
denote a coleção de todos os subconjuntos de A .
i) Dado
(que é a mesma coisa dizer
) , chamamos o conjunto
de imagem direta de X por f e por abuso de notação simplesmente denotamos por
(em particular quando X = A , tem o conjunto imagem da função f )
ii) Dado
, chamamos o conjunto
de preimagem (ou imagem inversa ) e denotamos por abuso de notação
(Não é imagem direta de Y pela função inversa , cuidado ! Nem se sabe se f admite uma inversa )