[Limite] Limites infinitos envolvendo série

por **davifd_** » Ter Ago 18, 2015 15:56

Não aprendi a usar ainda o editor de fórmulas por isso anexei o limite. Minha dúvida é como calcular limites infinitos envolvendo séries, agradeço antecipadamente

por **nakagumahissao** » Ter Ago 18, 2015 21:34

davifd_

Este limite parece ser bem simples. Me corrijam se eu estiver errado pessoal.

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3}$

Como n tende ao infinito, tanto o numerador como o denominador tendem ao infinito dando uma Indefninição do tipo: $\frac{\infty}{\infty}$

Assim, vamos dividir todos os valores do numerador e também do denominador por: n^2

. Assim, no numerador, todos os valores com exceção do último tenderão para zero quando n tender para o infinito. O último tenderá para 1 ficando da seguinte forma:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{1^2}{n^2} + \frac{2^2}{n^2} + \frac{3^2}{n^2} + ... + + \frac{n^2}{n^2}}{\frac{n^3}{n^2}} =$

$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$

$\blacksquare$

por **davifd_** » Ter Ago 18, 2015 23:40

nakagumahissao

inicialmente eu pensei assim tb, porém a resposta desse limite é 1/3, tem que fazer alguma jogada com o limite da série

por **nakagumahissao** » Ter Ago 18, 2015 23:54

davifd_,

Então, como esse limite possui uma indefinição na fração, tentei por L'Hôpital também, mas o resultado é o mesmo! Apliquei duas vezes:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} =$

$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{3n^2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2}{6n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{3n} = 0$

Vou pensar mais um pouco e entro em contato em breve. Por um acaso, poderia me informar de onde tirou esse problema (livro, autor, página, volume, edição?) por favor?

Grato

Sandro

por **davifd_** » Ter Ago 18, 2015 23:56

[quote="nakagumahissao"]

Esse problema foi de um concurso para fuzileiro naval, área de máquinas, é de engenharia ano 2014

por **nakagumahissao** » Qua Ago 19, 2015 00:27

davifd_,

Então davifd, coloquei esta sua questão no Mapple que é um software voltado para a matemática e cálculos científicos e o resultado foi esse que calculamos mesmo, ou seja, zero. Acredito que o gabarito esteja errado.

https://goo.gl/photos/iGei8WW8WsQ9ZLQu9

Acho que agora só aguardando outro professor passar por aqui para ajudar a sanar esta dúvida. Mas como já estou respondendo, acredito que outro professor não olhará este thread. Talvez se você postar novamente o problema para ter uma segunda opinião, quem sabe?

Grato

Sandro

por **davifd_** » Qua Ago 19, 2015 00:57

[quote="nakagumahissao"]davifd_,

Opa, eu joguei no mathcad e deu 1/3, vc definiu errado a série eu acho... Tem que por x^2 e indo de x=1 até n o somatório

por **nakagumahissao** » Qua Ago 19, 2015 00:58

Vou tentar aqui. Já retorno.

por **nakagumahissao** » Qua Ago 19, 2015 01:27

Realmente:

$\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Utilizando esta identidade teremos:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\sum_{k=1}^{n}k^2}{n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n^3} =$

$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\;\;\; [1]$

Usando L'Hôpital duas vezes, tem-se:

$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(2n+1) + 2(n+1)}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n + 3}{12n} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Nossa! Essa foi difícil! heheheh - Acho que agora está certo! Desculpe pelo erro! Afinal, não somos infalíveis!

Para o caso de desejar saber:

http://www.9math.com/book/sum-squares-f ... al-numbers