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Encontrar a derivada de um integral

Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Seg Ago 17, 2015 13:43

Poderiam me ajudar com essa questão:

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt

Se puderem explicar detalhadamente como resolver eu ficaria muito grato
Elvis
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Seg Ago 17, 2015 14:40

Veja bem Elvis,\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)


Teorema:

Segundo teorema do Cálculo:

Se f é contínua em um intervalo aberto I contendo a, então, para cada x no intervalo,

\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)




O que o teorema fundamental do cálculo diz em simples palavras é que a derviação de uma integral resulta na própria função do integrando que neste caso é :

\frac{1}{t^3 + 1}

Só que em 'x'.

g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt

g'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt \right]

g'(x)= \frac{1}{{x}^{3}+1}

\blacksquare
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Seg Ago 17, 2015 15:23

Rapaz (complicado de escrever seu nome), muito obrigado, eu tinha criado um post anteriormente, mas tinha me atrapalhado na interpretação do problema, e pensei que deveria encontrar a integral dessa função, e não a derivada kkkk Talvez se lembre, mas também foi você que o comentou e notificou-me que isso não era um exercício tão simples.

Agora, poderia me tirar só mais algumas dúvidas?

1 - Só é possível fazer a operação que você fez se o limite superior da integral for igual a variável da função g, correto?

2 - Como eu poderia calcular a integral da função g? (Não precisa calcular, se fizesse um roteiro eu ficaria muito agradecido)

Desde já, agradeço.
Elvis
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Seg Ago 17, 2015 17:25

Elvis,


Respondedo suas perguntas e fazendo algumas observações:

Não sei em que nível escolar está neste momento, mas independente disso, a resposta da primeira pergunta é: sim. No limite superior deverá ser a variável sim, pelo menos até onde estudei (Matemática, nível universitário)

Agora, existem duas respostas para a sua segunda pergunta:

Como eu poderia calcular a integral da função g?

1) Poderíamos fazer simplesmente:

\int g'(x)dx  = \int \frac{1}{x^3 + 1} dx

E se o intervalo (1,h) fosse dado:

\int_{1}^{h} g'(x)dx  = \int_{1}^{h} \frac{1}{x^3 + 1} dx

2) Agora, para realmente calcularmos esta integral, fazemos uso de algumas técnicas de integração e por isso, dependerá muito do seu grau de conhecimento de Cálculo I. Se você está terminando ou já está se aproximando do final do curso de Cálculo I, então você já deve ter visto estas técnicas. Se não viu, você somente terá o básico da integração ou seja, as formas mais básicas possíveis de funções para que sejam integradas como exercícios.

Vou resolver essa para você ver:

g(x) = \int  \frac{1}{x^3 + 1} dx

Esta integral pode ser resolvida por Frações Parciais. Neste caso, para sabermos o tipo de fração parcial a ser utilizada, precisaremos primeiramente fatorar o denominador. Por tentativa e erro, sabemos que uma das raízes do denominador é x = -1. assim, dividindo-se x^3 + 1 por x + 1, teremos:

\frac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1

Logo:

x^3 + 1 =(x+1)(x^2 - x + 1)

Completando o quadrado em x^2 - x + 1 temos:

x^2 - x + 1 = (x-1)^2 + x

Assim, a fração parcial que precisaremos encontrar será:

\frac{Ax + B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{(x-1)^2 + x} = \frac{1}{x^3 + 1}

\frac{Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^2 + Cx + Dx + D}{x^3 + 1} = \frac{1}{x^3 + 1}

Fatorando...

x^3(A) + x^2(-A + B + C) + x(A - B + C + D) + (B + D) \equiv 1

A = 0 ;\;\;\;\;[1]

A - B + C + D = 0 \;\;\;\;\; [2]

-A + B + C = 0 \;\;\;\;\; [3]

B + D =1 \;\;\;\;\;[4]

Resolvendo este sistema de equações encontraremos:

A = 0

B = \frac{1}{3}

C = -\frac{1}{3}

D = \frac{2}{3}

Assim:

\int  \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx

Solução da Primeira Integral:

\frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x+1| + c_{1} \;\;\;\;\; [5]


Segunda Integal:

\frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} dx

Podemos reescrever:

\frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{2}{2} \times \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{4 - 2x}{2(x^2 - x + 1)} =

- \frac{2x - 4}{2(x^2 - x + 1)} = -\frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)} + \frac{3}{2(x^2 - x + 1)}

Integrando, tem-se:

-\frac{1}{3}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{3}\int \frac{3}{2(x^2 - x + 1)} dx =

= -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{2}\int \frac{3}{3(x^2 - x + 1)} dx =

=-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx \;\;\;\;\;\;[6]

Resolvendo a primeira integral de [6], tem-se que:

-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx

u = x^2 - x + 1 \Rightarrow du = (2x - 1)dx

-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx = -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{u(2x -1)} du = -\frac{1}{6}\int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{6} \ln |u| + c_{2} =

= -\frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + c_{2} \;\;\;\;\; [7]

Resolvendo a segunda integram em [6], tem-se que:

\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx  \;\;\;\;\; [8]

Mas:

\frac{x^2 - x + 1}{4} = \left(x - \frac{1}{2} \right)^2

Então, uma boa escolha para substituição será:

u = x - \frac{1}{2} \Rightarrow du = dx \;\;\;\; [9]

Usando [9] em [8], tem-se:

\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} dx =

= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{4}{4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + 3} dx =

= \frac{1}{2}\int \frac{4}{4u^{2} + 3} dx \;\;\;\;\;[10]

Vamos substituir em [10] por:

u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow du = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta \;\;\;\;\; [11]

= \frac{1}{2}\int \frac{4}{3\left[\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \right)^2 + \frac{3}{4} \right]} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta  = \int \frac{\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{\frac{9}{4}\left( \tan^{2} + 1  \right)} d\theta  =

\int \frac{4\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{9\sec^{2}} d\theta  = \frac{4\sqrt{3}}{9} \theta + c_{3} \;\;\;\;\; [12]

Revertendo-se usando [11] em [12] tem-se:

u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}u \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}u \Rightarrow

Aplicando-se [9]:

\Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \theta = \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right]

Finalmente, substituindo-se este resultado em [12] temos:

= \frac{4\sqrt{3}}{9} \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + c_{3} \;\;\;\;\; [13]

Juntando-se finalmente todos os resultados obtidos de cada integral, temos a resposta final:

g(x) = \int  \frac{1}{x^3 + 1} dx =

= \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| +  \frac{4\sqrt{3}}{9}  \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + C

Como pode observar, esta integral é bem complexa e a resolução de integrais depende do seu conhecimento de várias técnicas de integração ensinadas no Cálculo I: Substituição, Frações Parciais, Substituição Trigonométrica, Integração por partes, Tabelas de Integração, Fórmula de Taylor, Integração Numérica, etc.


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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 01:56

Elvis,


Terminei. Espero que entenda a resolução pois é bem complexa e trabalhosa como disse anteriormente.


Grato


Sandro
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Sex Ago 21, 2015 15:07

Opa, bem complexa mesmo, agradecido! ^^
Elvis
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?