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Encontrar a derivada de um integral

Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Seg Ago 17, 2015 13:43

Poderiam me ajudar com essa questão:

Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função:

g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt

Se puderem explicar detalhadamente como resolver eu ficaria muito grato
Elvis
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Seg Ago 17, 2015 14:40

Veja bem Elvis,\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)


Teorema:

Segundo teorema do Cálculo:

Se f é contínua em um intervalo aberto I contendo a, então, para cada x no intervalo,

\frac{d}{dx}\left[\int_{a}^{x} f(t)dt \right] = f(x)




O que o teorema fundamental do cálculo diz em simples palavras é que a derviação de uma integral resulta na própria função do integrando que neste caso é :

\frac{1}{t^3 + 1}

Só que em 'x'.

g(x)=\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt

g'(x) = \frac{d}{dx}\left[\int_{1}^{x} \frac{1}{{t}^{3}+1} dt \right]

g'(x)= \frac{1}{{x}^{3}+1}

\blacksquare
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Seg Ago 17, 2015 15:23

Rapaz (complicado de escrever seu nome), muito obrigado, eu tinha criado um post anteriormente, mas tinha me atrapalhado na interpretação do problema, e pensei que deveria encontrar a integral dessa função, e não a derivada kkkk Talvez se lembre, mas também foi você que o comentou e notificou-me que isso não era um exercício tão simples.

Agora, poderia me tirar só mais algumas dúvidas?

1 - Só é possível fazer a operação que você fez se o limite superior da integral for igual a variável da função g, correto?

2 - Como eu poderia calcular a integral da função g? (Não precisa calcular, se fizesse um roteiro eu ficaria muito agradecido)

Desde já, agradeço.
Elvis
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Seg Ago 17, 2015 17:25

Elvis,


Respondedo suas perguntas e fazendo algumas observações:

Não sei em que nível escolar está neste momento, mas independente disso, a resposta da primeira pergunta é: sim. No limite superior deverá ser a variável sim, pelo menos até onde estudei (Matemática, nível universitário)

Agora, existem duas respostas para a sua segunda pergunta:

Como eu poderia calcular a integral da função g?

1) Poderíamos fazer simplesmente:

\int g'(x)dx  = \int \frac{1}{x^3 + 1} dx

E se o intervalo (1,h) fosse dado:

\int_{1}^{h} g'(x)dx  = \int_{1}^{h} \frac{1}{x^3 + 1} dx

2) Agora, para realmente calcularmos esta integral, fazemos uso de algumas técnicas de integração e por isso, dependerá muito do seu grau de conhecimento de Cálculo I. Se você está terminando ou já está se aproximando do final do curso de Cálculo I, então você já deve ter visto estas técnicas. Se não viu, você somente terá o básico da integração ou seja, as formas mais básicas possíveis de funções para que sejam integradas como exercícios.

Vou resolver essa para você ver:

g(x) = \int  \frac{1}{x^3 + 1} dx

Esta integral pode ser resolvida por Frações Parciais. Neste caso, para sabermos o tipo de fração parcial a ser utilizada, precisaremos primeiramente fatorar o denominador. Por tentativa e erro, sabemos que uma das raízes do denominador é x = -1. assim, dividindo-se x^3 + 1 por x + 1, teremos:

\frac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1

Logo:

x^3 + 1 =(x+1)(x^2 - x + 1)

Completando o quadrado em x^2 - x + 1 temos:

x^2 - x + 1 = (x-1)^2 + x

Assim, a fração parcial que precisaremos encontrar será:

\frac{Ax + B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{(x-1)^2 + x} = \frac{1}{x^3 + 1}

\frac{Ax^3 - Ax^2 + Ax + Bx^2 - Bx + B + Cx^2 + Cx + Dx + D}{x^3 + 1} = \frac{1}{x^3 + 1}

Fatorando...

x^3(A) + x^2(-A + B + C) + x(A - B + C + D) + (B + D) \equiv 1

A = 0 ;\;\;\;\;[1]

A - B + C + D = 0 \;\;\;\;\; [2]

-A + B + C = 0 \;\;\;\;\; [3]

B + D =1 \;\;\;\;\;[4]

Resolvendo este sistema de equações encontraremos:

A = 0

B = \frac{1}{3}

C = -\frac{1}{3}

D = \frac{2}{3}

Assim:

\int  \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx

Solução da Primeira Integral:

\frac{1}{3}\int \frac{1}{x + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x+1| + c_{1} \;\;\;\;\; [5]


Segunda Integal:

\frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{(x-1)^2 + x} dx = \frac{1}{3} \int \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} dx

Podemos reescrever:

\frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{2}{2} \times \frac{2 - x}{x^2 - x + 1} = \frac{4 - 2x}{2(x^2 - x + 1)} =

- \frac{2x - 4}{2(x^2 - x + 1)} = -\frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)} + \frac{3}{2(x^2 - x + 1)}

Integrando, tem-se:

-\frac{1}{3}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{3}\int \frac{3}{2(x^2 - x + 1)} dx =

= -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{2(x^2 - x + 1)}dx + \frac{1}{2}\int \frac{3}{3(x^2 - x + 1)} dx =

=-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx + \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx \;\;\;\;\;\;[6]

Resolvendo a primeira integral de [6], tem-se que:

-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx

u = x^2 - x + 1 \Rightarrow du = (2x - 1)dx

-\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1}dx = -\frac{1}{6}\int \frac{2x - 1}{u(2x -1)} du = -\frac{1}{6}\int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{6} \ln |u| + c_{2} =

= -\frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + c_{2} \;\;\;\;\; [7]

Resolvendo a segunda integram em [6], tem-se que:

\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx  \;\;\;\;\; [8]

Mas:

\frac{x^2 - x + 1}{4} = \left(x - \frac{1}{2} \right)^2

Então, uma boa escolha para substituição será:

u = x - \frac{1}{2} \Rightarrow du = dx \;\;\;\; [9]

Usando [9] em [8], tem-se:

\frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + 1 - \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{1}{x^2 - x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}} dx =

= \frac{1}{2}\int \frac{1}{\left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2}\int \frac{4}{4 \left(x - \frac{1}{2} \right)^2 + 3} dx =

= \frac{1}{2}\int \frac{4}{4u^{2} + 3} dx \;\;\;\;\;[10]

Vamos substituir em [10] por:

u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow du = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta \;\;\;\;\; [11]

= \frac{1}{2}\int \frac{4}{3\left[\left( \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \right)^2 + \frac{3}{4} \right]} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^{2} \theta d\theta  = \int \frac{\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{\frac{9}{4}\left( \tan^{2} + 1  \right)} d\theta  =

\int \frac{4\sqrt{3}\sec^{2} \theta }{9\sec^{2}} d\theta  = \frac{4\sqrt{3}}{9} \theta + c_{3} \;\;\;\;\; [12]

Revertendo-se usando [11] em [12] tem-se:

u = \frac{\sqrt{3}}{2}\tan \theta \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{\sqrt{3}}u \Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}u \Rightarrow

Aplicando-se [9]:

\Rightarrow \tan \theta = \frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \Rightarrow \theta = \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right]

Finalmente, substituindo-se este resultado em [12] temos:

= \frac{4\sqrt{3}}{9} \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + c_{3} \;\;\;\;\; [13]

Juntando-se finalmente todos os resultados obtidos de cada integral, temos a resposta final:

g(x) = \int  \frac{1}{x^3 + 1} dx =

= \frac{1}{3} \ln |x+1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| +  \frac{4\sqrt{3}}{9}  \arctan \left[\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x - \frac{1}{2} \right) \right] + C

Como pode observar, esta integral é bem complexa e a resolução de integrais depende do seu conhecimento de várias técnicas de integração ensinadas no Cálculo I: Substituição, Frações Parciais, Substituição Trigonométrica, Integração por partes, Tabelas de Integração, Fórmula de Taylor, Integração Numérica, etc.


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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 18, 2015 01:56

Elvis,


Terminei. Espero que entenda a resolução pois é bem complexa e trabalhosa como disse anteriormente.


Grato


Sandro
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Re: Encontrar a derivada de um integral

Mensagempor Elvis » Sex Ago 21, 2015 15:07

Opa, bem complexa mesmo, agradecido! ^^
Elvis
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.