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[Teorema do Residuo de Cauchy]

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Mensagempor Gebe » Qua Jun 03, 2015 23:27

Ola, estou tendo dificuldades com alguns exercicios sobre integração complexa utilizando o teorema de residuos de Cauchy. Havia conseguido resolver todos sem muitas dificuldades até chegar em 5 exercicios um pouco diferentes. Até o momento apareciam apenas integrais onde a função era complexa e a regiao (contorno) onde estava definida (pelo exercicio) era complexa, porém nestes ultimos, como mostro abaixo, tem uma função complexa e um contorno real.

Tentei resolver as questões utilizando apenas os residuos das singularidades reais, que estavam dentro do contorno, mas as respostas não conferem para nenhuma.
Segue abaixo alguns exemplos e minha tentativa de resolução:

Integrais que normalmente apareciam:
\oint_{C}^{} \frac{1}{{z}^{2}+4z+13}dz    , C:|z-3i|=3

Integrais que estou tendo problemas:
\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz C é o retangulo definido por x=\frac{1}{2},x=\pi ,y=-1,y=1

Tentativa de resolução:
Singularidades reais dentro do contorno: z=1 , z=2 , z=3

\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz = 2\pi i.\sum_{}^{}( res(f(z),1)+res(f(z),2)+res(f(z),3) )

\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz =2\pi i( \lim_{z\rightarrow1}(z-1)cotg(z\pi) + \lim_{z\rightarrow2}(z-2)cotg(z\pi)+\lim_{z\rightarrow3}(z-3)cotg(z\pi))

\oint_{C}^{} cotg(\pi z)dz = 2\pi i . (\frac{1}{\pi} + \frac{1}{2\pi} + \frac{1}{3\pi}) = \frac{22i}{6}

No entanto a resposta certa é 6i. Por que?
Se alguem puder me ajudar, agradeço.
Ps.: Tenho mais exemplos se alguem precisar.
Gebe
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Re: [Teorema do Residuo de Cauchy]

Mensagempor adauto martins » Ter Mar 01, 2016 10:41

a regiao de integraçao sera:
\left|z-3i \right|=\left|x+(y-3)i \right|=3\Rightarrow ({x}^{2}+({y-3)}^{2})=9...
uma circunferencia de centro (0,3) e raio r=3 e estao dentro da regiao de integraçao...
os polos serao...{z}^{2}+4z+13=(z-(-2+3i)).(z-(-2-3i))...{z}_{0}=-2+3i,{z}_{1}=-2-3i...
q. sao polos simples de ordem 1...entao...
R(f,{z}_{0})=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}((z-{z}_{0}).f(z))=\lim_{z\rightarrow {z}_{0}}(z-{z}_{0}).1/((z-{z}_{0}).(z-{z}_{1}))=\lim_{z\lim_{{z}_{0}}}.1/(z-{z}_{1})=1/({z}_{0}-{z}_{1})\Rightarrow R(f,{z}_{0})=1/(-2+3i-(-2-3i))=1/6i......o mesmo raciocinio se aplica ao polo {z}_{1},q. tera R(f,{z}_{1})=-1/6i...logo o valor da integral sera...I=2.\pi.i(R(f,{z}_{0})+R(f,{z}_{1})=2.\pi.i((1/6i)-(1/6i))=0
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Re: [Teorema do Residuo de Cauchy]

Mensagempor adauto martins » Qua Mar 02, 2016 11:36

uma correçao...
o polo {z}_{1}=-2-3i nao esta dentro da regiao de integraçao...logo...
I=2.\pi.i.(1/6i)=\pi/3...obrigado...
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}