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[Eq. da Tangente] x^(2/3)+y^(2/3)=1

[Eq. da Tangente] x^(2/3)+y^(2/3)=1

Mensagempor ajurycaba » Ter Abr 28, 2015 14:15

Encontre a equação da tangente de {x}^{2/3}+{y}^{2/3}=1 no ponto x = -\frac{1}{8}

Provavelmente estou fazendo algo errado pois não esta batendo com a resposta do wolfram..
segue minha resolução:

{x}^{2/3}+{y}^{2/3}=1

\sqrt[3]{{x}^{2}}+\sqrt[3]{{y}^{2}}=1

\sqrt[3]{{y}^{2}}=1-\sqrt[3]{{x}^{2}}

{y}^{2}={(1-\frac{1}{4})}^{3}

y=\sqrt[2]{\frac{27}{64}}

y=±\frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \leftarrow encontrei\:meu\:y

Agora vamos encontrar os M´s para as equações da tangente:

{x}^{2/3}+{y}^{2/3}=1

\left( \frac{2}{3{x}^{(1/3)}} \right) + \left( \frac{2}{3{y}^{(1/3)}} \right).y´

\left( \frac{2}{3{y}^{(1/3)}} \right).y´=-\left( \frac{2}{3{x}^{(1/3)}} \right)

y´=\frac{\left({y}^{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)}{\left({x}^{\left(\frac{1}{3} \right)} \right)}

{m}_{\left(-\frac{1}{8}, \frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \right)}=-\sqrt[3]{\frac{\frac{3\sqrt[2]{3}}{8}}{-\frac{1}{8}}} \rightarrow -\sqrt[3]{-3\sqrt[2]{3}} = \sqrt[2]{3}

{m}_{\left(-\frac{1}{8}, -\frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \right)}=-\sqrt[3]{\frac{\frac{3\sqrt[2]{3}}{8}}{-\frac{1}{8}}} \rightarrow -\sqrt[3]{-3\sqrt[2]{3}} = -\sqrt[2]{3}

Eq. da Tg. do ponto \left(-\frac{1}{8}, \frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \right):

y=m.\left( x-{x}_{0} \right)-{y}_{0}

y=\sqrt[2]{3}.\left(x+\frac{1}{8} \right)-\frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \right) \rightarrow x\sqrt[2]{3}+\frac{\sqrt[2]{3}}{8} - \frac{3\sqrt[2]{3}}{8} \rightarrow y=x\sqrt[2]{3}+\sqrt[2]{3}.\left(-\frac{1}{3} \right) \rightarrow y=x\sqrt[2]{3}-\frac{\sqrt[2]{3}}{4}

segue a resposta do wolfram:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=t ... x%3D-1%2F8

desde já agradeco!
ajurycaba
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Re: [Eq. da Tangente] x^(2/3)+y^(2/3)=1

Mensagempor young_jedi » Ter Abr 28, 2015 22:36

a equação da reta é na verdade

y=m(x-x_0)+y_0

só um pequeno erro de sinal mas sua resolução esta correta
young_jedi
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.