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Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor felipe_08 » Qui Abr 23, 2015 17:36

Gostaria de saber, passo a passo, como calcular o seguinte limite:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^5+x^2}

Eu tentei dividir toda a equação por x^5, que tem maior expoente no denominador, mais acabou dando uma soma de infinitos e não conseguir terminar. A resposta desse limite é 10, só gostaria de saber como chegar a esse resultado.
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Re: Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor nakagumahissao » Qui Abr 23, 2015 20:08

Usando o triângulo de Pacal para n = 5 em

{(1+x)}^{5}

Teremos:

{(1+x)}^{5}= 1\cdot{1}^{0}{x}^{5} + 5\cdot{1}^{1}{x}^{4}+10\cdot{1}^{2}{x}^{3}+10\cdot{1}^{3}{x}^{2} + 5\cdot{1}^{4}{x}^{1} + 1\cdot{1}^{5}{x}^{0}

{(1+x)}^{5}= = {x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1

E a fração ficará da seguinte forma:

\frac{{(1+x)}^{5} - (1+5x)}{x^5 + x^2} = \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1 - 1 - 5x}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)}=

= \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2}}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} =

= \frac{{x}^{2}\left({x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10 \right)}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} = \frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1}

Agora, por fim, podemos calcular o limite dado:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\left(1+x \right)}^{5} - (1 + 5x)}{{x}^{5} + {x}^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1} =

= \frac{0 + 0+0+10}{0 + 1} = \frac{10}{1} = 10
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Re: Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor felipe_08 » Qui Abr 23, 2015 22:51

Muito obrigado.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?