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Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor felipe_08 » Qui Abr 23, 2015 17:36

Gostaria de saber, passo a passo, como calcular o seguinte limite:

\lim_{x\rightarrow0}\frac{(1+x)^5-(1+5x)}{x^5+x^2}

Eu tentei dividir toda a equação por x^5, que tem maior expoente no denominador, mais acabou dando uma soma de infinitos e não conseguir terminar. A resposta desse limite é 10, só gostaria de saber como chegar a esse resultado.
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Re: Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor nakagumahissao » Qui Abr 23, 2015 20:08

Usando o triângulo de Pacal para n = 5 em

{(1+x)}^{5}

Teremos:

{(1+x)}^{5}= 1\cdot{1}^{0}{x}^{5} + 5\cdot{1}^{1}{x}^{4}+10\cdot{1}^{2}{x}^{3}+10\cdot{1}^{3}{x}^{2} + 5\cdot{1}^{4}{x}^{1} + 1\cdot{1}^{5}{x}^{0}

{(1+x)}^{5}= = {x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1

E a fração ficará da seguinte forma:

\frac{{(1+x)}^{5} - (1+5x)}{x^5 + x^2} = \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2} + 5x + 1 - 1 - 5x}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)}=

= \frac{{x}^{5} + 5{x}^{4}+10{x}^{3}+10{x}^{2}}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} =

= \frac{{x}^{2}\left({x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10 \right)}{{x}^{2}\left({x}^{3} + 1 \right)} = \frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1}

Agora, por fim, podemos calcular o limite dado:

\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{\left(1+x \right)}^{5} - (1 + 5x)}{{x}^{5} + {x}^{2}} = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{{x}^{3} + 5{x}^{2}+10x+10}{{x}^{3} + 1} =

= \frac{0 + 0+0+10}{0 + 1} = \frac{10}{1} = 10
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Re: Gostaria de saber como calcular o seguinte limite

Mensagempor felipe_08 » Qui Abr 23, 2015 22:51

Muito obrigado.
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Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: Balanar - Seg Ago 09, 2010 04:01

Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
Autor: MarceloFantini - Qua Ago 11, 2010 05:46

É só fazer a dica.


Assunto: Simplifique a expressão com radicais duplos
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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?