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Última mensagem por Janayna
em Qui Abr 27, 2017 00:04
por Leonardo Ribeiro » Sáb Mar 07, 2015 01:28
Fala pessoal, estou começando a estudar Equações Diferenciais agora. Já nos primeiros exercícios me deparei com uma coisa intrigante.
O enunciado é simples: Resolva a Equação Diferencial
Acontece que fazendo por dois caminhos bem pouco diferentes, obtenho resultados diferentes por um sinal.
Método 1
Método 2 resumido
Agora o invés de multiplicar a equação por
, multiplico por
. Assim eu retiro o sinal negativo do
Mas como agora temos o "-2" e não "2" do lado direito da equação, desenvolvendo assim como no primeiro caminho iremos chegar em:
E o fato de o denominador mudar de
para
não influencia porque com o jogo de sinais que é feito no primeiro método utilizando a propriedade do ln, essa diferença desaparece.
A diferença na solução é só que em uma aparece o fator
e na outra, o fator
A resposta no gabarito é
.
Eu poderia simplesmente continuar os exercícios e sempre que aparecer uma questão assim eu multiplicar a equação por um fator que tire o sinal negativo do
, até porque é assim que é ensinado nas resoluções do livro. Mas eu não iria conseguir dormir tranquilo haha.
Alguém mais experiente poderia explicar qual foi o erro que cometi para chegar em duas respostas diferentes? Sinto que deve ser algo muito simples, talvez até algum erro de sinal no meio do caminho.
Obs: Vão me desculpando se ficou confuso de entender. Tentei organizar ao máximo.
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Leonardo Ribeiro
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por Russman » Sáb Mar 07, 2015 04:45
O erro está na primeira solução. O seu erro foi substancial.
A função logaritmo é tal que leva produtos em somas. Isto é,
Daí, é possível mostrar que
. Mas
desde que
,
e
pertençam ao domínio de
, que é
.
Seu erro foi supor ln(kx) = k ln(x).
"Ad astra per aspera."
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Russman
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por Leonardo Ribeiro » Sáb Mar 07, 2015 11:58
Muito obrigado!
Quando resolvi ir pelo segundo caminho logo que chegou no ln eu fiz uma pesquisa no Google sobre as propriedades, que não me recordava. O problema é que já fui buscando por uma que me desse que kln(x) = ln(kx). O primeiro link que cliquei foi um do Yahoo respostas com um usuário citando a propriedade. Nem pensei duas vezes, tomei como verdade e utilizei hahah.
Era só ter feito um teste rápido e visto que é falso.
Obrigado mais uma vez!
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Leonardo Ribeiro
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Dom Jun 15, 2014 17:40
Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais
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Assunto:
Taxa de variação
Autor:
felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44
Como resolvo uma questao desse tipo:
Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?
A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é
Alguem me ajuda? Agradeço desde já.
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47
V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3
V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³
Derivando:
dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3
Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s
Assunto:
Taxa de variação
Autor:
Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17
Temos que o volume é dado por:
Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:
Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:
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