[Equações Diferenciais] Dúvida com exercício simples

por **Leonardo Ribeiro** » Sáb Mar 07, 2015 01:28

Fala pessoal, estou começando a estudar Equações Diferenciais agora. Já nos primeiros exercícios me deparei com uma coisa intrigante.

O enunciado é simples: Resolva a Equação Diferencial

$\frac{dy}{dt} = -2y + 5$

Acontece que fazendo por dois caminhos bem pouco diferentes, obtenho resultados diferentes por um sinal.

Método 1

$\frac{dy}{dt}= -2y + 5 \ \rightarrow \ \frac{1}{2}\frac{dy}{dt} = -y + 5/2 \ \rightarrow \ \frac{\frac{dy}{dt}}{(-y + \frac{5}{2})} = 2 \ \rightarrow \ \int \frac{1}{(-y + \frac{5}{2})}\frac{dy}{dt}dt = \int 2dt$

Fazendo uma substituição:
$u= -y + \frac{5}{2} \ \rightarrow \ du = -\frac{dy}{dt}dt \ \rightarrow \ \frac{dy}{dt}dt = -du$

$\int \frac{1}{(-y + \frac{5}{2})}\frac{dy}{dt}dt = -\int \frac{1}{u}du = -\ln(u) = -\ln(-y + \frac{5}{2})$

Utilizando a propriedade do ln onde $\ln(kx) = k\ln(x)$

$= \ln(y - \frac{5}{2})$

$\ln(y - \frac{5}{2}) = \int 2dt = 2t +C \ \rightarrow \ e^{\ln(y-\frac{5}{2})} = e^{2t + C} \ \rightarrow \ y - \frac{5}{2} = e^{C}e^{2t} \ \rightarrow \ y(t) = e^{C}e^{2t} + \frac{5}{2}$

Método 2 resumido

Agora o invés de multiplicar a equação por $\frac{1}{2}$ , multiplico por $-\frac{1}{2}$ . Assim eu retiro o sinal negativo do
$\frac{dy}{dt} = -2y +5 \ \rightarrow \ (-\frac{1}{2})\frac{dy}{dt} = y - \frac{5}{2} \ \rightarrow \ \frac{\frac{dy}{dt}}{y - \frac{5}{2}} = -2$

Mas como agora temos o "-2" e não "2" do lado direito da equação, desenvolvendo assim como no primeiro caminho iremos chegar em:

$y(t) = e^{C}e^{-2t} + \frac{5}{2}$

E o fato de o denominador mudar de $(-y + \frac{5}{2})$ para $(y - \frac{5}{2})$ não influencia porque com o jogo de sinais que é feito no primeiro método utilizando a propriedade do ln, essa diferença desaparece.

A diferença na solução é só que em uma aparece o fator $e^{2t}$ e na outra, o fator $e^{-2t}$

A resposta no gabarito é $y(t) = e^{C}e^{-2t} + \frac{5}{2}$ .
Eu poderia simplesmente continuar os exercícios e sempre que aparecer uma questão assim eu multiplicar a equação por um fator que tire o sinal negativo do

, até porque é assim que é ensinado nas resoluções do livro. Mas eu não iria conseguir dormir tranquilo haha.

Alguém mais experiente poderia explicar qual foi o erro que cometi para chegar em duas respostas diferentes? Sinto que deve ser algo muito simples, talvez até algum erro de sinal no meio do caminho.

Obs: Vão me desculpando se ficou confuso de entender. Tentei organizar ao máximo.

por **Russman** » Sáb Mar 07, 2015 04:45

O erro está na primeira solução. O seu erro foi substancial.

A função logaritmo é tal que leva produtos em somas. Isto é,

$f:(0,\infty )\rightarrow \mathbb{R} \ ; \forall a,b \in (0,\infty) \ /a.b \in (0,\infty) , f(ab)=f(a)+f(b)$

Daí, é possível mostrar que f(x^k) = k*f(x)

. Mas

desde que

,

e

pertençam ao domínio de

, que é $(0,\infty)$ .

Seu erro foi supor ln(kx) = k ln(x).

por **Leonardo Ribeiro** » Sáb Mar 07, 2015 11:58

Muito obrigado!

Quando resolvi ir pelo segundo caminho logo que chegou no ln eu fiz uma pesquisa no Google sobre as propriedades, que não me recordava. O problema é que já fui buscando por uma que me desse que kln(x) = ln(kx). O primeiro link que cliquei foi um do Yahoo respostas com um usuário citando a propriedade. Nem pensei duas vezes, tomei como verdade e utilizei hahah.

Era só ter feito um teste rápido e visto que é falso.

Obrigado mais uma vez!