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Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Mensagempor Fernandobertolaccini » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se A=(2y+3)i+(xz)j+(yz-x)k, calcular \int_{c}^{ }A.dR ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)


Resp: 10


Como fazer ?


Obrigado !!
Fernandobertolaccini
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Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

Mensagempor Russman » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z) então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} onde \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy  \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}.

Obteremos \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\  dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz.

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

\int_C \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r}

onde cada caminho C_i é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t).

Daí,

\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t)  \right ] = 0.

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1) de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1) de modo que

\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\  dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t)  \right ] =
= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10.

O único caminho que contribui para a integral é o último.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}