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Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de linha

Mensagempor Fernandobertolaccini » Ter Fev 03, 2015 12:43

Se A=(2y+3)i+(xz)j+(yz-x)k, calcular \int_{c}^{ }A.dR ao longo das retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0) , (0,0,1) , (0,1,1) , (2,1,1)


Resp: 10


Como fazer ?


Obrigado !!
Fernandobertolaccini
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Re: Cálculo de notação vetorial e trabalho usando intg. de l

Mensagempor Russman » Ter Fev 03, 2015 19:07

O primeiro passo é calcular o rotacional do campo vetorial em questão. Se o mesmo for nulo para qualquer ponto (x,y,z) então a a integral de linha terá um valor independente do caminho. Infelizmente, não é o caso. Então, primeiramente, calcule o produto interno \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} onde \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = dx \ \widehat{i} + dy  \ \widehat{j} + dz \ \widehat{k}.

Obteremos \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = (2y+3)\  dx + xz \ dy + (yz-x) \ dz.

Agora, o caminho é dividido em 3 partes. Assim,

\int_C \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} +\int_{C_2} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} + \int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r}

onde cada caminho C_i é a reta que liga os pontos consecutivos.

Como as retas são em 3D o melhor caminho é parametrizá-las. A primeira, deve passar por (0,0,0) e (0,0,1). Assim, uma boa parametrização seria (x,y,z) = (0,0,t).

Daí,

\int_{C_1} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{1} \left [(2y(t)+3) dx(t) + x(t)z(t) dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) dz(t)  \right ] = 0.

A parametrização para o próximo caminho pode ser (x,y,z) = (0,t,1) de modo que a integral C_2 também será nula.

Já para o caminho C_3 temos (x,y,z) = (t,1,1) de modo que

\int_{C_3} \overrightarrow{A} \cdot  \overrightarrow{ \mathrm{d}r} = \int_{0}^{2} \left [(2y(t)+3)\  dx(t) + x(t)z(t) \ dy(t) + (y(t)z(t)-x(t)) \ dz(t)  \right ] =
= \int_{0}^{2} 5 dt = 5 (2-0) = 10.

O único caminho que contribui para a integral é o último.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}


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