Diferenciais - Erro máximo e relativo

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Diferenciais - Erro máximo e relativo

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Diferenciais - Erro máximo e relativo

Mensagempor Vencill » Ter Dez 02, 2014 17:21

Boa tarde!

Estou com dúvida no seguinte exercício:

A aresta de um cubo mede 30 cm com um erro de medida de 0,1 cm. Utilizando diferenciais estimar o erro máximo e relativo no cálculo:

a) volume.

b) Área da superfície do cubo.

Dúvida: é o seguinte como tenho um pouco de dificuldade em diferenciais, não consigo resolver este exercício, a resposta da a é 270{cm}^{3} e 1% e da b é 36{cm}^{3} e 0,6%.

Agradeço se alguem me ajudar!
Vencill
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Re: Diferenciais - Erro máximo e relativo

Mensagempor lucas_carvalho » Ter Dez 02, 2014 21:05

Boa noite!!
Bom, vamos lá. Sabemos que o volume V de um cubo de aresta a é dado por:
V=a^3
Agora devemos derivar em relação a "a":
dV/da=3a^2
Logo:
dV=3a^2 da
dV=3.(30)^2.0,1=270 é o erro máximo cometido na medição do volume.
Para calcular o erro percentual, fazemos:
dV/V = 3a^2.da/a^3= 3 da/a = 3. (0,1)/30 =0,01=1/100
Essa foi a letra "a"

A área da superfície de um cubo é dada por:
A=6a^2
Derivando:
dA/da=12a
dA=12a da
Então o erro máximo na medida é:
dA=12.30.0,1=36
Para o erro percentual:
dA/A=12a.da/6a^2=2. da/a=2. 0,1/30\approx 0,6/100
Essa foi a letra 'b"

Espero ter ajudado, desculpe qualquer erro (é a primeira vez que entro nesse fórum).
lucas_carvalho
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Re: Diferenciais - Erro máximo e relativo

Mensagempor Vencill » Qua Dez 03, 2014 16:22

Nossa obrigado mesmo!!
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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