[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

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[Cálculo I] Exercício - Máximos e Mínimos

Mensagempor Pessoa Estranha » Dom Nov 16, 2014 16:53

Olá, pessoal! Boa Tarde!

Preciso de ajuda para resolver o seguinte exercício: "Um fio de comprimento L é cortado em dois pedaços, um dos quais formará um círculo e o outro, um quadrado. Como deve ser cortado o fio para que a soma das áreas do círculo e do quadrado seja máxima?"

Minha resolução:

Seja x o pedaço de L destinado ao círculo. Seja y, o do quadrado. Temos x + y = L. Sabemos que a área de um círculo é dada por: \pi {r}^{2}, onde r é o raio. Como temos o comprimento x, vem que 2 \pi r = x \rightarrow r = \frac{x}{2 \pi}. Logo, {A}_{c} = \frac{{x}^{2}}{4 \pi} é a área do círculo. Da mesma forma, temos que a área do quadrado é dada por: {A}_{q} = {a}^{2}, onde a é a medida do lado do quadrado. Mas, sabemos que 4a = y \rightarrow a = \frac{y}{4}. Logo, {A}_{q} = \frac{{y}^{2}}{16}. Para trabalharmos com uma variável, segue: x + y = L \rightarrow x = L - y \rightarrow {x}^{2} = {L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}. Substituindo, vem que: {A}_{c} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi}. Somando as duas áreas, temos: {A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{L}^{2} - 2Ly + {y}^{2}}{4 \pi} + \frac{{y}^{2}}{16} \rightarrow {A}_{c} + {A}_{q} = \frac{{y}^{2}(4+ \pi) - 8Ly + 4{L}^{2}}{16 \pi}. Derivando, temos: \frac{(4+ \pi)y - 4L}{3 \pi}. Daí, fazendo um estudo do sinal, não encontrei ponto de máximo, e, sim, de mínimo.

Por favor, preciso de ajuda! Muito Obrigada!
Pessoa Estranha
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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