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Conclusão sobre Limite de sucessões

Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor EREGON » Sex Nov 14, 2014 15:00

Boa tarde,

gostaria de pedir ajuda para entender como se identifica a tendencia deste limite.

Obrigado
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EREGON
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Re: Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor e8group » Dom Nov 16, 2014 20:03

Uma forma com mais rigor matemático :

Lemma :

Se uma sequência (x_n) é convergente para x  \in \mathbb{N} , então dado y < x existe N \in \mathbb{N} tal que x_n >  y . Prova :

Basta fazer \espilon = x - y  > 0 e usar a definição de convergência de sequência .


Consequência :

Defina x_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} . Note que a sequência (x_n) é convergente para k > 1 .Daí , dado y \in (1 , k) ,aplicando o lemma , temos a existência de m \in \mathbb{N} tal que x_n > y e assim a_{n+1} > a_n y  , \forall n \geq m (pois a_n > 0 ) . Veja que

a_{m+1} > a_{m} y

a_{m+2} >  a_{m+1} y >  a_m y^2

a_{m+3}  >  a_{m+2} y  >  a_m y^3

(...)

a_{m+k} >  a_m y^k  ,  k =1,2, \hdots .

Daí , passando ao limite com k \to + \infty , temos a_m y^k \to + \infty e por isso lim(a_n) = + \infty . Caso queira mais rigor , faremos o seguinte , você propõe um número arbitrário , grande o quanto você queira, e mostraremos que a sequência (a_n) contém infinitamente muitos termos (de índices consecutivos ) que excede este número escolhido ... traduzindo

\lim a_n = + \infty  . \equiv .   \forall W>>0  , \exists M \in \mathbb{N}  :  n \geq  M \implies   a_n >  W .

(A notação " >>" é p/ enfatizar que W está distante da origem ) .

Fazendo o seguinte rascunho :

a_m y^k > W temos y^k > \frac{W}{a_m} implicando k >  log_y \frac{W}{a_m} (pois y > 1 ) . Seja então k_0 o menor inteiro positivo que satisfaz esta desigualdade (P.S.: a existência de k_o é assegurada pela pela propriedade Arquimediana ) .Daí , para qualquer índice

k \geq  k_o temos k >   log_y \frac{W}{a_m}  \implies     y^k > \frac{W}{a_m} \implies  a_m y^k >  W .

Mas , como a_{ m + k}  > a_m y^k . Logo , por transitividade , a_{n} >  W (com n = m +k ) sempre que n \geq  k_o + M o que prova formalmente que o limite da sequência (a_n) diverge para + \infty .
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Re: Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor EREGON » Seg Nov 17, 2014 13:19

Olá santhiago,

um pouco complicado de entender essa resolução. A resolução tem de passar por essas demonstrações?

Obrigado
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?