Uma forma com mais rigor matemático :
Lemma :
Se uma sequência
é convergente para
, então dado
existe
tal que
. Prova :
Basta fazer
e usar a definição de convergência de sequência .
Consequência :
Defina
. Note que a sequência
é convergente para
.Daí , dado
,aplicando o lemma , temos a existência de
tal que
e assim
(pois a_n > 0 ) . Veja que
(...)
.
Daí , passando ao limite com
, temos
e por isso
. Caso queira mais rigor , faremos o seguinte , você propõe um número arbitrário , grande o quanto você queira, e mostraremos que a sequência
contém infinitamente muitos termos (de índices consecutivos ) que excede este número escolhido ... traduzindo
.
(A notação " >>" é p/ enfatizar que W está distante da origem ) .
Fazendo o seguinte rascunho :
temos
implicando
(pois
) . Seja então
o menor inteiro positivo que satisfaz esta desigualdade (P.S.: a existência de k_o é assegurada pela pela propriedade Arquimediana ) .Daí , para qualquer índice
temos
.
Mas , como
. Logo , por transitividade ,
(com
) sempre que
o que prova formalmente que o limite da sequência
diverge para
.