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Conclusão sobre Limite de sucessões

Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor EREGON » Sex Nov 14, 2014 15:00

Boa tarde,

gostaria de pedir ajuda para entender como se identifica a tendencia deste limite.

Obrigado
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EREGON
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Re: Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor e8group » Dom Nov 16, 2014 20:03

Uma forma com mais rigor matemático :

Lemma :

Se uma sequência (x_n) é convergente para x  \in \mathbb{N} , então dado y < x existe N \in \mathbb{N} tal que x_n >  y . Prova :

Basta fazer \espilon = x - y  > 0 e usar a definição de convergência de sequência .


Consequência :

Defina x_n = \frac{a_{n+1}}{a_n} . Note que a sequência (x_n) é convergente para k > 1 .Daí , dado y \in (1 , k) ,aplicando o lemma , temos a existência de m \in \mathbb{N} tal que x_n > y e assim a_{n+1} > a_n y  , \forall n \geq m (pois a_n > 0 ) . Veja que

a_{m+1} > a_{m} y

a_{m+2} >  a_{m+1} y >  a_m y^2

a_{m+3}  >  a_{m+2} y  >  a_m y^3

(...)

a_{m+k} >  a_m y^k  ,  k =1,2, \hdots .

Daí , passando ao limite com k \to + \infty , temos a_m y^k \to + \infty e por isso lim(a_n) = + \infty . Caso queira mais rigor , faremos o seguinte , você propõe um número arbitrário , grande o quanto você queira, e mostraremos que a sequência (a_n) contém infinitamente muitos termos (de índices consecutivos ) que excede este número escolhido ... traduzindo

\lim a_n = + \infty  . \equiv .   \forall W>>0  , \exists M \in \mathbb{N}  :  n \geq  M \implies   a_n >  W .

(A notação " >>" é p/ enfatizar que W está distante da origem ) .

Fazendo o seguinte rascunho :

a_m y^k > W temos y^k > \frac{W}{a_m} implicando k >  log_y \frac{W}{a_m} (pois y > 1 ) . Seja então k_0 o menor inteiro positivo que satisfaz esta desigualdade (P.S.: a existência de k_o é assegurada pela pela propriedade Arquimediana ) .Daí , para qualquer índice

k \geq  k_o temos k >   log_y \frac{W}{a_m}  \implies     y^k > \frac{W}{a_m} \implies  a_m y^k >  W .

Mas , como a_{ m + k}  > a_m y^k . Logo , por transitividade , a_{n} >  W (com n = m +k ) sempre que n \geq  k_o + M o que prova formalmente que o limite da sequência (a_n) diverge para + \infty .
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Re: Conclusão sobre Limite de sucessões

Mensagempor EREGON » Seg Nov 17, 2014 13:19

Olá santhiago,

um pouco complicado de entender essa resolução. A resolução tem de passar por essas demonstrações?

Obrigado
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.