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Limite em sucessões - Cálculo

Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor EREGON » Seg Nov 10, 2014 21:02

Olá,

agradeço a vossa ajuda para perceber o seguinte exercício:

Limites_Sucessões.PNG
Limites_Sucessões.PNG (4.98 KiB) Exibido 6908 vezes


é errado afirmar que o limite desta sucessão tende para 0, atendendo à grandeza do denominador? Existe alguma descrição matemática para a resolução deste tipo de exercícios?

Obrigado,

Paulo
EREGON
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor adauto martins » Ter Nov 11, 2014 14:09

L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/\sqrt[]{{n}^{2}-n})=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/({n}^{2})(1/\sqrt[]{1-1/(n)}=\sum_{1}^{n}\lim_{n\rightarrow\infty}(1/({n}^{2})).\lim_{n\rightarrow\infty}1/(\sqrt[]{1-1/n})=\sum_{1}^{n}0.1=0...n\rightarrow\infty,L\rightarrow0...esse exercicio e para determinar se uma sucessao ,ou uma serie converge...e estudar sequencias e series,calculo 2,ou3...na verdade p/sequencias ou serie...vc toma o limite do termo geral,p/verificar se converge ou nao...termo geral eh:
1/(\sqrt[]{({n})^{2}-n}
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor e8group » Ter Nov 11, 2014 23:38

Acredito que o limite seja 1 ... vejamos , fixado n arbitrariamente , temos \frac{1}{\sqrt{n^2 + k }}  \leq \frac{1}{n}   , \forall k \in \{1 , ..., n \} .Daí ,

\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k }}  \leq \sum_{k=1}^n \ \frac{1}{n} = 1 . Por outro lado ,


(n+1)^2  =  n^2 + 2n + 1 \geq  n^2 +k  ,  \forall k \in \{1 , ..., n \} , implicando \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}}  \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1} .

Desta forma, 1 \geq  \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k }}  \geq \frac{n}{n+1} . A conclusão do limite valer 1 segue de


lim\left(\frac{1}{n+1}\right) = 1
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor adauto martins » Qua Nov 12, 2014 12:39

santiago vc novamente,
primeiro vc entra em uma questao minha e da bola fora...sobre subespaços,dizendo q. o vetorv=(...) e subespaço...q. no caso,nao eh...existem dois subespaços triviais(vetor nulo e o proprio espaço) e qquer outro subespaço tem q. conter a origem...agora vem querendo me contradizer...estude mais matematica...primeiramente \lim_{x\rightarrow\infty}(1/n)=0,caso q. nao se tem como reduzir a uma forma elementar,usando algebrismos de limites...e outra \sum_{1}^{\infty}(1/n)diverge,por ser serie harmonica ,o q. refuta seus argumentos...
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor adauto martins » Qua Nov 12, 2014 19:58

uma correçao,o limite da serie em questao,diverge p/infinito...correçao:
L=\lim_{x\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}+n})=\sum_{1}^{\infty}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}+n}) \preceq \sum_{1}^{\infty}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}})=\sum_{1}^{\infty}(1/n)=\infty...obrigado
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor e8group » Qui Nov 13, 2014 12:05

Caro adauto martins , calma ! Por favor , só estou aqui para expor minha opinião , não estou criticando vc e etc ... Equívocos absolutamente é normal .. A respeito do tópico sobre o subespaço veja o mesmo novamente .

No meu ponto de vista , não faz sentido a divergência da serie p/ infitnity , muito menos a convergência da mesma para zero .

Note que k percorre de 1 até n , com n grande o quanto vc queira . Desta forma n^2 + k  \geq 2^{2k} (pois estamos a trabalhar com n arbitrariamente grande ) , e disso vem que \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } \leq  \frac{1}{2^k}[meu novo argumento ) , logo ( pois estamos estamos no corpo dos reais , e a relação " <=" é compatível com a adição )

\sum_{k=1}^n  \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } \leq  \sum_{k=1}^n  \frac{1}{2^k}  = 1 . E trivialmente podemos limitar inferiormente \sum_{k=1}^n  \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } por 0 , e por este argumento não diverge p/ infinity .

Fazendo , n =  10 , 10^2 , 10^3 , 10^4 , \hdots  ,  10^10 , \hdots   , 10^{100}  , \hdots de acordo com o wolframalhpa .... temos respectivamente


\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{\sqrt{(10)^2 + k} }    \approx  0.9738556434509457694395007025608320110552144932340023

\sum_{k=1}^{10^2} \frac{1}{\sqrt{(10^2)^2 + k} }      \ approx  0.9974876089861329807734124156548666837879534243410154

(...)

\sum_{k=1}^{10^2} \frac{1}{\sqrt{(10^2)^2 + k} } \approx   1

(...)

\Downarrow

Expectativa :


\lim_{n\to + \infty }  \sum_{k=1}^n  \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} }  = \lim_{n\to + \infty } \left(\frac{1}{\sqrt{n^2 +  1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 +  2}} + \hdots + \frac{1}{\sqrt{n^2 +  n}} \right)   =1 .

Porém para estudantes de matemática e qq um que gosta de mat , certamente o argumento acima não é válido ... Se alguém aí conseguir formalizar faça o favor de postar .


É isso !
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Re: Limite em sucessões - Cálculo

Mensagempor adauto martins » Qui Nov 13, 2014 14:27

meu caro santiago,
primeiramente a serie \sum_{k=1}^{\infty}(1/{2}^{k})e uma serie geometrica cuja soma e infinita,q. se calcula como se segue:
\sum_{k=1}^{\infty}(1/{2}^{k})=1/(1-r),\left|r \right|\prec 1,r=1/2\Rightarrow 1/(1-1/2)=2...calculo q. vc errou...qto as series \sum_{k=1}^{\infty}(1/{n}^{k}),n\in \alephsao ditas series harmonicas q. convergem p/k\succ 1e divergem p/ k\prec 1(fato bom de se provar...) o q. vejo e q. vc conhece pouco de calculo,pois isso q. escrevi acima e a nivel de calculo2,3...q. se faz em graduaçao dos cursos de ciencias basicas e exatas,engenharias etc...bom,estamos sempre sujeitos a erros,eu mesmo vi q. errei na questao pelo fato de estar calculando muitos limites aqui,e me sequeci q. tal limite era um limite de uma serie infinita...mas vim e consertei meu erro...tbem nao quero discordia,por que estamos aqui com o mesmo fim,ajudar no melhor q. podemos as pessoas q. procuram aqui uma soluçao p/suas duvidas em matematica...sempre concordarei com argumentos melhores q. o meu,se caso eu esteja errado...
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}