Limite em sucessões - Cálculo

por **EREGON** » Seg Nov 10, 2014 21:02

Olá,

agradeço a vossa ajuda para perceber o seguinte exercício:

: Limites_Sucessões.PNG (4.98 KiB) Exibido 6919 vezes

é errado afirmar que o limite desta sucessão tende para 0, atendendo à grandeza do denominador? Existe alguma descrição matemática para a resolução deste tipo de exercícios?

Obrigado,

Paulo

por **adauto martins** » Ter Nov 11, 2014 14:09

$L=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/\sqrt[]{{n}^{2}-n})=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/({n}^{2})(1/\sqrt[]{1-1/(n)}$ = $\sum_{1}^{n}\lim_{n\rightarrow\infty}(1/({n}^{2})).\lim_{n\rightarrow\infty}1/(\sqrt[]{1-1/n})=\sum_{1}^{n}0.1=0$ ... $n\rightarrow\infty,L\rightarrow0$ ...esse exercicio e para determinar se uma sucessao ,ou uma serie converge...e estudar sequencias e series,calculo 2,ou3...na verdade p/sequencias ou serie...vc toma o limite do termo geral,p/verificar se converge ou nao...termo geral eh:
$1/(\sqrt[]{({n})^{2}-n}$

por **e8group** » Ter Nov 11, 2014 23:38

Acredito que o limite seja 1 ... vejamos , fixado

arbitrariamente , temos $\frac{1}{\sqrt{n^2 + k }} \leq \frac{1}{n} , \forall k \in \{1 , ..., n \}$ .Daí ,

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k }} \leq \sum_{k=1}^n \ \frac{1}{n} = 1$ . Por outro lado ,

$(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 \geq n^2 +k , \forall k \in \{1 , ..., n \}$ , implicando $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2+k}} \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+1} = \frac{n}{n+1}$ .

Desta forma, $1 \geq \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k }} \geq \frac{n}{n+1}$ . A conclusão do limite valer 1 segue de

$lim\left(\frac{1}{n+1}\right) = 1$

por **adauto martins** » Qua Nov 12, 2014 12:39

santiago vc novamente,
primeiro vc entra em uma questao minha e da bola fora...sobre subespaços,dizendo q. o vetorv=(...) e subespaço...q. no caso,nao eh...existem dois subespaços triviais(vetor nulo e o proprio espaço) e qquer outro subespaço tem q. conter a origem...agora vem querendo me contradizer...estude mais matematica...primeiramente $\lim_{x\rightarrow\infty}(1/n)=0$ ,caso q. nao se tem como reduzir a uma forma elementar,usando algebrismos de limites...e outra $\sum_{1}^{\infty}(1/n)$ diverge,por ser serie harmonica ,o q. refuta seus argumentos...

por **adauto martins** » Qua Nov 12, 2014 19:58

uma correçao,o limite da serie em questao,diverge p/infinito...correçao:
$L=\lim_{x\rightarrow\infty}\sum_{1}^{n}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}+n})=\sum_{1}^{\infty}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}+n}) \preceq \sum_{1}^{\infty}(1/(\sqrt[]{{n}^{2}})=\sum_{1}^{\infty}(1/n)=\infty$ ...obrigado

por **e8group** » Qui Nov 13, 2014 12:05

Caro adauto martins , calma ! Por favor , só estou aqui para expor minha opinião , não estou criticando vc e etc ... Equívocos absolutamente é normal .. A respeito do tópico sobre o subespaço veja o mesmo novamente .

No meu ponto de vista , não faz sentido a divergência da serie p/ infitnity , muito menos a convergência da mesma para zero .

Note que

percorre de

até

, com

grande o quanto vc queira . Desta forma $n^2 + k \geq 2^{2k}$ (pois estamos a trabalhar com n arbitrariamente grande ) , e disso vem que $\frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } \leq \frac{1}{2^k}$ [meu novo argumento ) , logo ( pois estamos estamos no corpo dos reais , e a relação " <=" é compatível com a adição )

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } \leq \sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k} = 1$ . E trivialmente podemos limitar inferiormente $\sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} }$ por 0 , e por este argumento não diverge p/ infinity .

Fazendo , $n = 10 , 10^2 , 10^3 , 10^4 , \hdots , 10^10 , \hdots , 10^{100} , \hdots$ de acordo com o wolframalhpa .... temos respectivamente

$\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{\sqrt{(10)^2 + k} } \approx 0.9738556434509457694395007025608320110552144932340023$

$\sum_{k=1}^{10^2} \frac{1}{\sqrt{(10^2)^2 + k} } \ approx 0.9974876089861329807734124156548666837879534243410154$

(...)

$\sum_{k=1}^{10^2} \frac{1}{\sqrt{(10^2)^2 + k} } \approx 1$

(...)

$\Downarrow$

Expectativa :

$\lim_{n\to + \infty } \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{n^2 + k} } = \lim_{n\to + \infty } \left(\frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \hdots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) =1$ .

Porém para estudantes de matemática e qq um que gosta de mat , certamente o argumento acima não é válido ... Se alguém aí conseguir formalizar faça o favor de postar .

É isso !

por **adauto martins** » Qui Nov 13, 2014 14:27

meu caro santiago,
primeiramente a serie $\sum_{k=1}^{\infty}(1/{2}^{k})$ e uma serie geometrica cuja soma e infinita,q. se calcula como se segue:
$\sum_{k=1}^{\infty}(1/{2}^{k})$ =1/(1-r), $\left|r \right|\prec 1$ ,r=1/2 $\Rightarrow 1/(1-1/2)=2$ ...calculo q. vc errou...qto as series $\sum_{k=1}^{\infty}(1/{n}^{k}),n\in \aleph$ sao ditas series harmonicas q. convergem p/ $k\succ 1$ e divergem p/ $k\prec 1$ (fato bom de se provar...) o q. vejo e q. vc conhece pouco de calculo,pois isso q. escrevi acima e a nivel de calculo2,3...q. se faz em graduaçao dos cursos de ciencias basicas e exatas,engenharias etc...bom,estamos sempre sujeitos a erros,eu mesmo vi q. errei na questao pelo fato de estar calculando muitos limites aqui,e me sequeci q. tal limite era um limite de uma serie infinita...mas vim e consertei meu erro...tbem nao quero discordia,por que estamos aqui com o mesmo fim,ajudar no melhor q. podemos as pessoas q. procuram aqui uma soluçao p/suas duvidas em matematica...sempre concordarei com argumentos melhores q. o meu,se caso eu esteja errado...

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