[Derivada Parcial] Pedido de ajuda para resolução

por **itsdeas** » Sex Nov 07, 2014 18:21

Olá!

Tenho um trabalho de Calculo 2 para entregar amanhã. 2 questões envolvem Derivadas Parciais para serem solucionadas, e está é a minha dificuldade.

Questão 1:
Uma placa metálica circular com centro na origem, possui a temperatura T no ponto (x,y) dada por T(x,y)=400*(2+x^2+3y^2)^-1 ºC
Qual a direção que se deve tomar a partir do ponto A(1,1) de modo que a temperatura aumente o mais rapido possivel e com que velocidade T(x,y) aumenta ao passar pelo ponto A nessa direção?

- Eu sei como resolver o problema, porem eu travo na parte que preciso derivar a Função T(x,y)=400*(2+x^2+3y^2)^1/2 em x e em y. HELP!

A outra questão é parecida assim e eu travo no mesmo momento que preciso derivar em x e em y.
Segue a outra Funções que preciso de ajuda na derivação parcial:

2: T(x,y) = 46-(140-x^2-3y^2)^1/2

Imagino que por serem funções compostas eu esteja com essa dificuldade.

EU FICAREI MUITO GRATO SE ALGUÉM PUDER ME AJUDAR HOJE AINDA, A ENTREGA DO TRABALHO É AMANHÃ.

por **young_jedi** » Sex Nov 07, 2014 19:20

vamos fazer o primeiro exemplo

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{\frac{1}{2}-1}.\frac{\partial(2+x^2+y^2)}{\partial x}$

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}.\frac{\partial(2+x^2+y^2)}{\partial x}$

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}.2x$

e para y

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial y}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{\frac{1}{2}-1}.\frac{\partial(2+x^2+y^2)}{\partial y}$

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial y}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}.\frac{\partial(2+x^2+y^2)}{\partial y}$

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial y}=400.\frac{1}{2}(2+x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}}.2y$

lembre-se que quando derivamos parcialmente com relação a x y se torna uma constante e vice-versa tente fazer o próximo e comente se tiver duvidas

por **itsdeas** » Sex Nov 07, 2014 22:19

Nossa, você foi muito rápido!
Tinha aula hoje a noite entao cheguei só agora, fiquei muito agradecido por sua resposta.
Vou tentar fazer agora, só me explica melhor que metodo foi utilizado, pois embora muito bem apresentado eu fiquei confuso.
Outra coisa que eu rateei ao pedir auxilio eu errei a Função, na verdade seria T(x,y)=400*(2+x^2+y^2)^-1 D:
Mas se eu entender o metodo, eu provavelmente conseguirei fazer sozinho!

mt mt obrigado mesmo.

por **young_jedi** » Seg Nov 10, 2014 20:25

Me desculpe por não responder antes mas estava ocupado

primeiramente você tem que ter em mente que quando se deriva parcialmente com relação a x a variavel y deve ser tratada como uma constante

segundo, neste caso foi utilizado a regra da cadeia da derivada, onde a função é tratada como uma função composta.

$T(x,y)=400.(2+x^2+y^2)^{-1}$

a função elevada a -1 é a primeira função então fazemos sua derivada, e multiplicamos pela derivada da função que esta 'dentro' dela ou seja a função

para a derivada da primeira função, fazemos o procedimento de colocar o expoente multiplicando a função e subtrair 1 do expoente

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=(-1).400.(2+x^2+y^2)^{-1-1}.(2+x^2+y^2)'$

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=-400.(2+x^2+y^2)^{-2}.(2+x^2+y^2)'$

agora calculamos

como 2 e y são constantes então sua derivada é 0 ja x^2

tem como derivada

portanto

$\frac{\partial T(x,y)}{\partial x}=-400.(2+x^2+y^2)^{-2}.2x$

para y é só proceder da mesma forma mas tendo em mente que agora x é uma constante