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[Cálculo Diferencial e Integral I] Derivada

[Cálculo Diferencial e Integral I] Derivada

Mensagempor Pessoa Estranha » Qui Set 25, 2014 13:03

Olá!

Preciso de ajuda para resolver o seguinte exercício:

"Obter a equação da reta tangente à curva y = \frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2} em x = -2".

Minha resolução:

\frac{dy}{dx} = \frac{{e}^{x}(1-2{x}^{-2})}{4}

(y-{y}_{o}) = \frac{dy}{d{x}_{o}}(x-{x}_{o})

(y-{y}_{o}) = \frac{dy}{d{x}_{o}}(x-{x}_{o}) \rightarrow (y-f({x}_{o})) = \frac{{e}^{-2}(1-2{(-2)}^{-2})}{4}.(x - (-2)) \rightarrow (y - \frac{{e}^{-2} + {e}^{2}}{2}) = \frac{{e}^{-2}.(1-\frac{1}{2})}{4}.(x+2)

y = \frac{{e}^{-2}}{8}.(x+2) + \frac{{e}^{-2}+{e}^{2}}{2} \rightarrow y = \frac{{e}^{-2}(x+6) + 4{e}^{2}}{8}

Resposta do Livro:

y = \frac{({e}^{-2}-{e}^{2})x}{2} + \frac{3{e}^{-2}-{e}^{2}}{2}

Tentei fazer algumas manipulações algébricas para tentar chegar numa equivalência das expressões, mas não deu certo.

Por favor, podem me ajudar?

Muito Obrigada!
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Re: [Cálculo Diferencial e Integral I] Derivada

Mensagempor DanielFerreira » Qui Set 25, 2014 21:57

Derivemos,

\\ y = \frac{e^x + e^{- x}}{2} \\\\\\ y = \frac{e^x + \frac{1}{e^x}}{2} \\\\\\ y' = \frac{\left( e^x + \frac{0 \cdot e^x - 1 \cdot e^x}{(e^x)^2} \right) \cdot 2 - \left( e^x + \frac{1}{e^x} \right) \cdot 0}{4} \\\\\\ y' = \frac{2 \cdot \left( e^x - \frac{1}{e^x} \right)}{4} \\\\\\ \boxed{y' = \frac{e^x - e^{- x}}{2}}


Sabemos que a equação da reta tangente... no ponto (p, f(p)) é dada por f(x) = f'(x) \cdot (x - p) + f(p)

\\ f'(x) = \lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \\\\\\ f(x) = f'(x) \cdot (x - p) + f(p) \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot \left( x - 2 \right) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot x + \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot (- 2) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot x + \left( \frac{-2e^2 + 2e^{- 2}}{2} \right) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ \boxed{\boxed{f(x) = \frac{(e^2 - e^{- 2})x}{2} + \frac{3e^{- 2} - e^2}{2}}}
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Re: [Cálculo Diferencial e Integral I] Derivada

Mensagempor Pessoa Estranha » Sex Set 26, 2014 10:47

Olá! Muito Obrigada! Errei em alguma coisa na hora de derivar. Vou ver direitinho agora. Muito obrigada mesmo! :-D
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.