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Teorema de Green - Circulação e Fluxo de uma Elipse

Teorema de Green - Circulação e Fluxo de uma Elipse

Mensagempor Victor Mello » Qua Set 10, 2014 20:39

Boa noite,

O meu problema aqui foi encontrar o fluxo do campo dado por F = xi + yj ao redor de uma elipse dada por r(t) = (cost)i + (4sent)j, cujo intervalo de t varia de [0,2\pi].

Na verdade o meu problema é que a minha resposta não está de acordo com o gabarito, já havia tentado passo a passo a achar os semi-eixos dessa elipse, até provei a área de uma elipse que é \pi ab utilizando mesmo o próprio Teorema de Green. Então, usei a função paramétrica e eliminei o parâmetro para achar a equação cartesiana dessa elipse parametrizada, que deu \frac{y^2}{16} + x^2 = 1, cujo semi-eixo maior é 4 e semi-eixo menor é 1. Então, o fluxo que eu achei foi 4\pi, mas o gabarito deu 8\pi. Então, o que pode ter errado nessa questão? Se alguém puder esclarecer, eu agradeço.

Grato.
Victor Mello
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Re: Teorema de Green - Circulação e Fluxo de uma Elipse

Mensagempor young_jedi » Qui Set 11, 2014 09:42

Pelos meus calculos essa integral da 0 teria como você demonstrar os seus cálculo e dar uma conferida no enunciado ?
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Re: Teorema de Green - Circulação e Fluxo de uma Elipse

Mensagempor Victor Mello » Qui Set 11, 2014 13:18

A resposta do gabarito é o seguinte:

A circulação é 0, mas o fluxo é 8\pi. Eu fiz o seguinte: Primeiro eu converti as equações paramétricas para equação cartesiana eliminando o parâmetro:

x(t)=cost
y(t)=4sent

isolando o t, deu:

cost =x
sent = \frac{y}{4}

aí, utilizando a identidade trigonométrica, a equação de uma elipse seria de:

\frac{y^2}{16} + x^2 = 1, é uma elipse "em pé", pois o semi-eixo maior está acompanhando com o y. Logo, a=4 e b=1


A questão é encontrar a circulação e o fluxo do campo dado por F = xi+yj ao redor e através da elipse que eu citei no post. Já que eu consegui transformar a equação parametrizada numa equação normal, já dá para fazer integral.

Eu considerei a integral de circulação, do tipo \int Mdx + Ndy. Só que no caso da elipse, a soma das derivadas tem que dar 1, aí o que eu fiz: Eu chamei N de X e M também X, pois se eu considerar como uma integral dupla, o somatório das derivadas realmente dá 1. Só que eu não quis deixar na forma de integral dupla para não dar muito trabalho na hora dos cálculos, mas a ideia minha é chamar M e N de x.

O meu cálculo ficou assim:

\int_{0}^{2\pi} xdx + \int_{0}^{2\pi}xdy Convertendo tudo para coordenadas polares, ficou assim:

\int_{0}^{2\pi} -16sen\theta cos\theta d\theta + \int_{0}^{2\pi}4cos^2\theta d\theta = -16\int_{0}^{2\pi}sen\theta cos\theta d\theta + 2 \int_{0}^{2\pi}[1+cos(2\theta)] d\theta = -16\int_{0}^{2\pi} udu + 2\left(\int_{0}^{2\pi} d\theta + \int_{0}^{2\pi}cos(2\theta) d\theta \right) = -8sen^2\theta + 2\theta + sen(2\theta) = 4\pi.

Agora o que não entendi é o porquê de dar zero, eu achei 4\pi. Não sei se não era pra considerar a área da elipse, ou era apenas substituir no campo vetorial, infelizmente não consegui encontrar solução correta.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.