Derivada reta tangente ao gráfico

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Derivada reta tangente ao gráfico

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Derivada reta tangente ao gráfico

Mensagempor Carolminera » Qua Jul 23, 2014 11:33

Determine a equação da reta tangente a elipse :


\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{5} = 1


no ponto (Xo, Yo).


Alguém pode me ajudar?
Obrigada!
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Re: Derivada reta tangente ao gráfico

Mensagempor Russman » Qua Jul 23, 2014 21:08

Vamos deduzir uma fórmula útil que determina a reta tangente ao ponto (x_0,y_0) dada qualquer função y=y(x). Esta você poderá usar sempre que uma questão envolver a busca da reta tangente a um gráfico em um ponto.

Seja r(x) = ax+b a reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto (x_0,y_0). Sabemos que a inclinação da reta r(x) é a=y'(x_0). Entenda como a derivada de y(x) aplicada no ponto cujo x=x_0.

Daí, r(x) = y'(x_0) x + b. Agora, se a reta tangencia a função então ambas valem o mesmo valor no ponto de tangência. Ou seja,

r(x_0) = y(x_0)

Assim, y'(x_0) x_0 + b = y(x_0) de onde b = y(x_0) - x_0 y'(x_0).

Portanto, a reta tangente ao gráfico de y=y(x) no ponto (x_0,y_0) é r(x) = y'(x_0) x + y(x_0) - x_0 y'(x_0).

Tente prosseguir.
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1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59

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