Derivada crescente

[Janoca]

Se uma função tem derivada crescente, então:
a) ela é inversível;
b) sua derivada é positiva;
c) a função é crescente;
d) a função tem ponto de máximo;
e) todas alternativas são falsas.


Gostaria de entender o pq de cada alternativa incorreta e a o motivo da correta.

desde agradeço!

[e8group]

Defina que a cada associar um . Note que e facilmente verifica-se que é crescente (neste caso estritamente crescente ) .Agora ...

(I) A função f não é inversível (pois não é injetora , muito menos sobrejetora ) o que implica (a) falso .
(ii) A derivada de f não preservar o sinal ,portanto não positiva o que implica (b) falso.
(iii) Qualquer um dos itens acima implicam que f não é crescente o que implica (c) falso .
(iv) A função não atinge valor máximo . Note que dado qualquer M > 0 o quão grande vc queira temos sempre um f(x) > M ; para tal basta que x seja superior que .