Derivada em pontos definidos.

[Carolminera]

O deslocamento ( em metros ) de uma partícula movendo-se ao longo
de uma reta é dado pela equação s(t) = t^2? 8t + 18, onde t é medido em segundos.
Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo [3,4], [3.5, 4], [4,
5] [4, 4.5]. Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. Faça o gráfico de s como
função do tempo e desenhe as retas secantes, cujas inclinações são as velocidades
médias pedidas e a reta tangente ao gráfico no ponto (4,2).

Alguém ajuda?

[Russman]

Lembre-se que a velocidade média desenvolvida pelo móvel no intervalo de tempo é definida como



onde é o deslocamento sofrido e .

Assim, por exemplo, para calcular a velocidade média desenvolvida no intervalo basta substituir, já que é conhecida, os valores de tempo na função deslocamento. Veja,




Não se engane com o sinal negativo. Ele e o sinal positivo apenas indicam o sentido do movimento. Se a posição cresce para a direita(como usualmente se faz) e a velocidade média desenvolvida no intervalo de tempo de interesse tem sinal negativo, então o móvel se desloca no sentido de decrescimento da posição nesse intervalo de tempo. Ou seja, para a esquerda.

A velocidade instantânea é calculada para um instante de tempo específico através do limite



que , na prática, é a derivada com relação a da função posição. Isto é,

.

Portanto, e basta substituir pelo instante que se deseja calcular a velocidade instantânea.

No conhecimento desta, é útil saber(e simples de mostrar) que a velocidade média desenvolvida no intervalo se relaciona com a velocidade instantânea nos instantes e por

.

Ou seja, a velocidade média desenvolvida no intervalo de tempo de interesse é a média aritmética simples das velocidades instantâneas desenvolvidas nos extremos desse intervalo.

[Carolminera]

Muuuito obrigada!