[integral definida] - dúvida em exercício

por **natanaelskt** » Qua Jul 02, 2014 02:13

Não estou entendendo como faz esse exercício. o A eu entendi. porém esses outros dois eu não sei fazer. eu não entendo essas expressões em cima da integral. alguém poderia me explicar como resolve?

por **e8group** » Qua Jul 02, 2014 14:04

Note que $\boxed {\frac{d}{dx} \left( \int_{q(x)}^{p(x) } g(t) dt \right) = g(p(x)) \cdot p'(x) - g(q(x)) \cdot q'(x) }$ .

Sem rigor, apenas p/ termos uma noção de um resultado ...

Para começar seja $f(x) = \int_{a}^x g(t) dt$ (a constante ) . Segue-se

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} g(t)dt - \int_{a}^{x} g(t)dt \right) =$

$= \frac{1}{h} \int_x^{x+h} g(t) dt$ .

Quando $h \to 0$ , a integral de

sobre o intervalo [x,x+h]

pode ser aproximada por $g(x) \cdot h$ e com isso f'(x) = g(x)

.Alternativamente ,deixe

ser um intervalo fechado de extremos x, x+h .Temos que

$h \cdot \sup_{\zeta \in I } g(\zeta) \geq \int_x^{x+h} g(t) dt \geq h \cdot \inf_{\zeta \in I } g(\zeta)$ sse

$\sup_{\zeta \in I} g(\zeta) \geq \frac{1}{h} \int_x^{x+h} g(t) dt \geq \inf_{\zeta \in I } g(\zeta)$ .

Quando $h\to 0$ , tem-se que $g(x) = \sup_{\zeta \in I } g(\zeta) \geq \frac{1}{h} \int_x^{x+h} g(t) dt \geq \inf_{\zeta \in I } g(\zeta) = g(x)$ e portanto f'(x) = g(x)

.

Como consequência da fórmula obtida juntamente com a regra da cadeia , vamos ter $[f(p(x))]' = f'(p(x)) \cdot p'(x) = g(p(x))p'(x)$ . Agora vamos obter a fórmula destacada .Para tal ,fixe x e suponha $p(x) \neq q(x)$ (o caso q(x) = p(x) é trivial) . Neste caso , existe

entre

e

.(O intervalo não é degenerado) e assim

$\int_{q(x)}^{p(x)} g(t) dt = \int_{q(x)}^k g(t) dt + \int_{k}^{p(x)} g(t) dt = \int_{k}^{p(x)} g(t) dt - \int_{k}^{q(x)} g(t) dt .$ . Daí, ao derivarmos com respeito à x e utilizando os resultados obtidos teremos a fórmula destacada .

Agora basta aplicar a fórmula em cada exercício e fazer a pior parte, contas !

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Re: [integral definida] - dúvida em exercício

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